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User: Wikipediaで見つけた公式なのですが導出方法がわかりません。教えていただけると幸いです。

Wikipediaで見つけた公式なのですが導出方法がわかりません。教えていただけると幸いです。 ∫[0→∞](aˣ/Γ(x))dx=aeᵃ+a∫[0→∞](e⁻ᵃˣ/(ln²x+π²))dx

Assistant: 以下では a0 を仮定する実際この範囲でWikipediaの式が自然に成り立つとして、導出の流れを示す。

以下では a>0 を仮定する(実際この範囲でWikipediaの式が自然に成り立つ)として、導出の流れを示す。

目標は

∫0∞axΓ(x) dx=aea+a∫0∞e−axln⁡2x+π2 dx\int_{0}^{\infty}\frac{a^{x}}{\Gamma(x)}\,dx = a e^{a}+a\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a x}}{\ln^{2}x+\pi^{2}}\,dx∫0∞​Γ(x)ax​dx=aea+a∫0∞​ln2x+π2e−ax​dx である。

1. Abel–Plana(Abel–Plana)の公式を使う

Abel–Planaの公式( a=0 の形)は、条件を満たす正則関数 f に対して

∑n=0∞f(n)=f(0)2+∫0∞f(x) dx+i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt\sum_{n=0}^{\infty} f(n) =\frac{f(0)}{2}+\int_{0}^{\infty} f(x)\,dx +i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dtn=0∑∞​f(n)=2f(0)​+∫0∞​f(x)dx+i∫0∞​e2πt−1f(it)−f(−it)​dt である。 ウィキペディア

ここで

f(z)=azΓ(z)f(z)=\frac{a^{z}}{\Gamma(z)}f(z)=Γ(z)az​ と置く。1/Γ(z) は非正整数で 0 になる(Γ が極を持つので逆数が 0)ため、特に f(0)=0 である。

よって Abel–Plana を変形して

∫0∞axΓ(x) dx=∑n=0∞anΓ(n)−  i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt\int_{0}^{\infty}\frac{a^{x}}{\Gamma(x)}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{\Gamma(n)} -\; i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dt∫0∞​Γ(x)ax​dx=n=0∑∞​Γ(n)an​−i∫0∞​e2πt−1f(it)−f(−it)​dt となる。

2. 離散和の部分は a e^a になる

n=0 では 1/Γ(0)=0 なので項は 0。n≥1 では Γ(n)=(n-1)! より

∑n=0∞anΓ(n)=∑n=1∞an(n−1)!=a∑m=0∞amm!=aea.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^{n}}{\Gamma(n)} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a^{n}}{(n-1)!} =a\sum_{m=0}^{\infty}\frac{a^{m}}{m!} =a e^{a}.n=0∑∞​Γ(n)an​=n=1∑∞​(n−1)!an​=am=0∑∞​m!am​=aea. したがって残りは

−i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt-i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dt−i∫0∞​e2πt−1f(it)−f(−it)​dt を

a∫0∞e−axln⁡2x+π2 dxa\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a x}}{\ln^{2}x+\pi^{2}}\,dxa∫0∞​ln2x+π2e−ax​dx に変形できればよい。

3. “ln^2+π^2” が出てくる鍵(フーリエ変換の恒等式)

次の恒等式が要である：

∫0∞uitu(ln⁡2u+π2) du=e−π∣t∣.\int_{0}^{\infty}\frac{u^{it}}{u(\ln^{2}u+\pi^{2})}\,du=e^{-\pi |t|}.∫0∞​u(ln2u+π2)uit​du=e−π∣t∣. これは u=e^{y} と置換すると

∫−∞∞eityy2+π2 dy=e−π∣t∣\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ity}}{y^{2}+\pi^{2}}\,dy=e^{-\pi|t|}∫−∞∞​y2+π2eity​dy=e−π∣t∣ に変わり、これは有名なフーリエ変換の公式 ∫−∞∞eityy2+a2dy=πae−a∣t∣\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{ity}}{y^{2}+a^{2}}dy=\frac{\pi}{a}e^{-a|t|}∫−∞∞​y2+a2eity​dy=aπ​e−a∣t∣ の a=π の場合である。 (この形は後で “e^{-π|t|} を u 積分に直す” ために使う。MSEの導出でもここが同じ役をしている。 Mathematics Stack Exchange)

4. 複素解析側の中身(要点だけ)

MSEにある Hardy(由来はRamanujan)の流れと同様に、Abel–Planaの補正項を

1. 反射公式(または sin と Γ の関係)で整理して、t を -∞〜∞ に拡張した形の積分に直す
2. そこで出てくる e^{-\pi|t|} を上の恒等式で u 積分に置き換える
3. 積分順序を交換し、内側の t 積分を Mellin 変換の逆変換(輪郭積分)として評価する

という手順を踏むと、結局

−i∫0∞f(it)−f(−it)e2πt−1 dt=a∫0∞e−auln⁡2u+π2 du-i\int_{0}^{\infty}\frac{f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}\,dt = a\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a u}}{\ln^{2}u+\pi^{2}}\,du−i∫0∞​e2πt−1f(it)−f(−it)​dt=a∫0∞​ln2u+π2e−au​du が得られる。ここで最後の “内側の t 積分が e^{-a u} に落ちる” 部分は、MSE解答中で「Mellin transform gives … = -e^{-u}」として書かれている箇所の a 付き一般化である。 Mathematics Stack Exchange

(厳密に書くなら、Γ と sin の関係を使って 1/Γ(z) の Hankel 型表現や、縦線 Re(z)=0 上の積分を閉曲線で評価して留数を拾う、という標準手順になる。Abel–Plana自体が複素解析由来なので、この段階は複素解析が避けにくい。 ウィキペディア)

5. 結論

以上より

∫0∞axΓ(x) dx=aea+a∫0∞e−axln⁡2x+π2 dx\int_{0}^{\infty}\frac{a^{x}}{\Gamma(x)}\,dx = a e^{a} + a\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-a x}}{\ln^{2}x+\pi^{2}}\,dx∫0∞​Γ(x)ax​dx=aea+a∫0∞​ln2x+π2e−ax​dx が導かれる。

必要なら、上の 4 の部分を「どの変形でどの関数恒等式を使っているか」まで数式を全部つないで、途中式を省略せずに書く(ほぼMSEの式変形を a 付きに置き換えて追う)形で提示する。