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User: GPT, 이 문제를 풀어줄래?: $$Fx x^{2029} - 3x^{2028} + 4x^{2027} - 5x^{2026} + 6x^{3} - 7x + 8$$을 $x^4 - 1$로 나눈 나머지 $Rx$를 구해줘.

GPT, 이 문제를 풀어줄래?: $$F(x) = x^{2029} - 3x^{2028} + 4x^{2027} - 5x^{2026} + 6x^{3} - 7x + 8$$을 $x^4 - 1$로 나눈 나머지 $R(x)$를 구해줘. ($\deg R \le 3$)

Assistant: 핵심 아이디어는

핵심 아이디어는

x4≡1(modx4−1)x^4 \equiv 1 \pmod{x^4-1}x4≡1(modx4−1) 을 이용해 지수들을 4로 나눈 나머지만 남기는 것입니다. 나머지 R(x)R(x)R(x)는 차수가 3 이하인 다항식입니다.

1️⃣ 각 항을

𝑥 4 − 1 x 4 −1로 정리

지수들을 4로 나눈 나머지를 계산하면

• 2029≡1(mod4)2029 \equiv 1 \pmod{4}2029≡1(mod4) → x2029≡xx^{2029} \equiv xx2029≡x
• 2028≡0(mod4)2028 \equiv 0 \pmod{4}2028≡0(mod4) → x2028≡1x^{2028} \equiv 1x2028≡1
• 2027≡3(mod4)2027 \equiv 3 \pmod{4}2027≡3(mod4) → x2027≡x3x^{2027} \equiv x^3x2027≡x3
• 2026≡2(mod4)2026 \equiv 2 \pmod{4}2026≡2(mod4) → x2026≡x2x^{2026} \equiv x^2x2026≡x2
• x3x^3x3 그대로
• xxx 그대로
• 상수항 그대로

따라서

F(x)≡x−3⋅1+4x3−5x2+6x3−7x+8\begin{aligned} F(x) &\equiv x - 3\cdot 1 + 4x^3 - 5x^2 + 6x^3 - 7x + 8 \\ \end{aligned}F(x)​≡x−3⋅1+4x3−5x2+6x3−7x+8​

2️⃣ 같은 차수끼리 정리

• x3x^3x3: 4x3+6x3=10x34x^3 + 6x^3 = 10x^34x3+6x3=10x3
• x2x^2x2: −5x2-5x^2−5x2
• xxx: x−7x=−6xx - 7x = -6xx−7x=−6x
• 상수: −3+8=5-3 + 8 = 5−3+8=5

3️⃣ 최종 나머지

R(x)=10x3−5x2−6x+5\boxed{R(x) = 10x^3 - 5x^2 - 6x + 5}R(x)=10x3−5x2−6x+5​ 차수도 333 이하로 조건을 정확히 만족합니다.