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User: p知恵てください

p知恵てください

Assistant: もちろんです。「p知恵てください」というのは「教えてください」のタイプミスでしょうか？

もちろんです。「p知恵てください」というのは「教えてください」のタイプミスでしょうか？ もう少し詳しく教えてください。たとえば：

• 何について知りたいですか？（例：PyTorchの使い方、数学の定理、コードの書き方など）
• 具体的な質問や目的がありますか？

内容を教えていただければ、すぐにお手伝いします。

User: Parisiらが創始したランダム系のレプリカ対称性の破れと超対称性の破れの関係について教えてください

Parisiらが創始したランダム系のレプリカ対称性の破れと超対称性の破れの関係について教えてください

Assistant: とても深いテーマです。

とても深いテーマです。 Parisiによるレプリカ対称性の破れ（Replica Symmetry Breaking: RSB）と、超対称性（SUSY）の破れとの関係は、統計物理・確率解析・幾何学的構造の接点にあります。 以下で、体系的に整理して説明します。

スピングラス（特にSherrington–Kirkpatrick模型, SK模型）は、相互作用 JijJ_{ij}Jij​ がランダムな符号を持つイジング模型：

H=−∑i<jJijsisjH = -\sum_{i<j} J_{ij} s_i s_jH=−i<j∑​Jij​si​sj​ を考えます。ここで Jij∼N(0,1/N)J_{ij} \sim \mathcal{N}(0, 1/N)Jij​∼N(0,1/N) です。

平均自由エネルギー

ln⁡Z‾=ln⁡∑{si}e−βH‾\overline{ \ln Z } = \overline{ \ln \sum_{\{s_i\}} e^{-\beta H}}lnZ=ln{si​}∑​e−βH​ の disorder 平均を直接とるのが難しいため、Parisi らは次のような「レプリカトリック」を導入します：

ln⁡Z‾=lim⁡n→0Zn‾−1n\overline{ \ln Z } = \lim_{n \to 0} \frac{\overline{Z^n} - 1}{n}lnZ=n→0lim​nZn−1​ ここで整数 nnn 個の「レプリカ」系を考えると、レプリカ対称性（RS）は「全レプリカが等価である」という仮定に相当します。

Parisiは、低温相でこの対称性が壊れることを発見しました。

すなわち、レプリカ間の重なり（overlap）

qab=1N∑isi(a)si(b)q_{ab} = \frac{1}{N} \sum_i s_i^{(a)} s_i^{(b)}qab​=N1​i∑​si(a)​si(b)​ が、単一値ではなく階層構造を持つこと（例：1-step RSB, full RSB）を示しました。

この階層的構造が、エネルギーランドスケープの指数的に多い局所極小（メタ安定状態）を反映しています。

ここからが本題です。

確率場の定式化（特にLangevin力学やMartin–Siggia–Rose (MSR)形式)では、確率過程を経路積分として書くと、自然にBRST型超対称性が現れます。

たとえば、確率過程：

x˙i=−∂V(x)∂xi+ηi(t)\dot{x}_i = -\frac{\partial V(x)}{\partial x_i} + \eta_i(t)x˙i​=−∂xi​∂V(x)​+ηi​(t) を経路積分化すると、ゴースト場 ψ,ψˉ\psi, \bar{\psi}ψ,ψˉ​ を導入して次のような作用が得られます：

S[x,ψ,ψˉ]=∫dt[12(x˙+∇V)2+ψˉ∇2Vψ]S[x,\psi,\bar{\psi}] = \int dt \left[ \frac{1}{2}(\dot{x} + \nabla V)^2 + \bar{\psi} \nabla^2 V \psi \right]S[x,ψ,ψˉ​]=∫dt[21​(x˙+∇V)2+ψˉ​∇2Vψ] この理論はBRST型の超対称性（SUSY）を持ちます。 この対称性が保たれている限り、力学的安定性（ゆらぎの消失）が保証されます。

C. De Dominicis, T. Sompolinsky, M. Mézard, G. Parisi らの1980年代の研究によって、次の対応が明らかになりました：

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直感的に言うと：

• RS相では、エネルギーランドスケープは「単一の谷」で、ゆらぎがガウス的でSUSYが保たれる。
• RSB相では、指数的に多くの局所谷が生じ、確率過程のBRST対称性が破れ、スーパーパートナーの期待値がゼロでなくなる（= SUSY破れ）。

これを「SUSY ⇔ landscapeの単連結性」と見ることもできます。

SUSYが破れると、Witten指数（ボソン−フェルミオンの零モード差）

Δ=Tr(−1)Fe−βH\Delta = \mathrm{Tr}(-1)^F e^{-\beta H}Δ=Tr(−1)Fe−βH が非零となり、ゼロモード（鞍点・遷移状態）が非対称に存在することを意味します。

スピングラスではこの「零モードの非対称性」が、RSB階層構造の出現に対応します。

• SUSY保持：局所安定点の間に平衡が成立。
• SUSY破れ：指数的に多くの準安定状態が生成（complex landscape）。

ランダムポテンシャル V(x)V(x)V(x) をもつ系のpartition function:

Z=∫dx e−βV(x)Z = \int dx\, e^{-\beta V(x)}Z=∫dxe−βV(x) に対して、disorder平均を取ると「有効場」理論が生まれます。このとき導入されるフェルミオン的補助場は、BRST型SUSY構造を持ちます。

Parisi–Sourlas (1979) は、この構造を用いて「ランダム場理論がより低次元の超対称場理論に射影される」ことを示しました（次元還元現象）。

しかし、このSUSYが破れると、次元還元が成り立たなくなります。 実際、スピングラスのRSB相では次元還元が破綻します。

- G. Parisi, “Order Parameter for Spin-Glasses,” Phys. Rev. Lett. 50 (1979) 1946.

• C. De Dominicis and I. Kondor, “Dynamics and Symmetries of Spin Glasses,” J. Phys. Lett. 45 (1984) L205.
• G. Parisi and N. Sourlas, “Supersymmetric field theories and stochastic differential equations,” Nucl. Phys. B206 (1982) 321.
• M. Mézard, G. Parisi, M.A. Virasoro, Spin Glass Theory and Beyond (World Scientific, 1987).
• A. Annibale, A. Cavagna, “Supersymmetry breaking in random matrix models,” J. Phys. A 36 (2003) 10937.

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もしご希望あれば：

• Langevin形式でのSUSY生成子(Q, \bar{Q})の明示的構築
• Parisi–Sourlasの「次元還元とSUSY破れ」部分の数式展開
• RSB階層構造とSUSYゼロモードの多重度の具体的対応表

など、より技術的に掘り下げた説明も可能です。どの部分を深く見たいですか？

User: 詳しい文献のリンクを教えて下さい

詳しい文献のリンクを教えて下さい

Assistant: 以下に、特に「Giorgio Parisi／Nicolas Sourlas 型の超対称性（SUSY）・次元還元・レプリカ対称性破れ（RSB）に関して 必読・参考になる論文／講義ノートを列挙します。ご希望ならPDFリンクも探せます。

以下に、特に「Giorgio Parisi／Nicolas Sourlas 型の超対称性（SUSY）・次元還元・レプリカ対称性破れ（RSB）に関して 必読・参考になる論文／講義ノートを列挙します。ご希望ならPDFリンクも探せます。

📚 重要文献リスト

1. Slava Rychkov, “Four Lectures on the Random Field Ising Model, Parisi-Sourlas Supersymmetry, and Dimensional Reduction” (2023) — arXiv preprint. arXiv - RFIM（ランダム場イジング模型）を題材に、Parisi-Sourlas SUSY／次元還元／その破れまで丁寧に解説。 - 講義形式なので、初心者〜中級者にもわかりやすい。 - 特に「SUSY Ward 恒等式」「次元還元がどこで破れるか」の議論あり。
2. Apratim Kaviraj, Emilio Trevisani “Random Field ϕ³ Model and Parisi-Sourlas Supersymmetry” (2022) — JHEP and arXiv version. SpringerLink - ϕ³ 型ランダム場模型に対して RG アプローチで SUSY と次元還元を調べた最新の論文。 - 「SUSY 破れが起きないモデル」として、比較対象としても非常に参考になります。
3. Rémi Monasson “Optimization problems and replica symmetry breaking in …” (1998) — 複雑度（状態数）・RSB に関する古典。 École Normale Supérieure Physique - RSB／状態数（複雑度）の定式化に非常に有用。 - 「SUSY 破れ → 無数のメタステーブル解」の文脈で、TAP 方程式やレプリカ束縛方式が出てきます。
4. Gilles Tarjus, Matthieu Tissier, Ivan Balog “On the breakdown of dimensional reduction and supersymmetry in random-field models” (2024) — arXiv preprint. arXiv - 次元還元と SUSY の破れを、関数的 RG (FRG) の視点から整理している。 - 「どの次元で破れが起きるか」「破れの機構は何か」が丁寧に扱われています。
5. K Ghosh, Emilio Trevisani “A Tale of Two Uplifts: Parisi-Sourlas with Defects” (2025) — arXiv preprint. SciPost - 最近の “uplift”／“パリシ‐スーラス SUSY” を更に発展させた理論的研究。次元還元を超えた展開も参考になります。

もしご希望であれば、これらに加えて もっと古典的な論文（例えば Parisi-Sourlas の原著、De Dominicis／Sompolinsky 等の RSB＋SUSY 論文）も探せます。また、PDFをダウンロード可能なリンクを探し、ご提示することも可能です。どうしますか？

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User: 次元還元とSUSY破れ」部分の数式展開をしてください

次元還元とSUSY破れ」部分の数式展開をしてください

Assistant: いいですね。Parisi–Sourlas の次元還元（dimensional reduction）と、その背後にある BRST 型超対称性（SUSY）、さらにSUSY 破れが起きると次元還元が壊れる理由を、できるだけ数式で一本の流れとして…

いいですね。Parisi–Sourlas の次元還元（dimensional reduction）と、その背後にある BRST 型超対称性（SUSY）、さらにSUSY 破れが起きると次元還元が壊れる理由を、できるだけ数式で一本の流れとして展開します。

連続系のランダム場模型を考えます。場 ϕ:Rd→R\phi:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}ϕ:Rd→R、ランダム外場 h(x)h(x)h(x)（平均 0、分散 Δ\DeltaΔ のガウス）に対し、

−∇2ϕ(x)+V′(ϕ(x))=h(x)(⋆)-\nabla^2\phi(x) + V'(\phi(x)) = h(x) \qquad(\star)−∇2ϕ(x)+V′(ϕ(x))=h(x)(⋆) という「確率的オイラー–ラグランジュ方程式（Nicolai 方程式）」で定義される解 ϕh\phi_hϕh​ を対象に、hhh 平均 ⟨⋅⟩h\langle \cdot\rangle_h⟨⋅⟩h​ のとれた観測量 ⟨O(ϕh)⟩h\langle \mathcal{O}(\phi_h)\rangle_h⟨O(ϕh​)⟩h​ を求めたい。

デルタ関数で拘束し、ガウス測度 P[h]∝exp⁡{−12Δ∫h2}P[h]\propto \exp\{-\frac1{2\Delta}\int h^2\}P[h]∝exp{−2Δ1​∫h2} で平均すると

⟨O⟩h=∫ ⁣ ⁣Dh P[h] O(ϕ) δ ⁣[−∇2ϕ+V′(ϕ)−h] ∣det⁡δ(−∇2+V′′(ϕ))δϕ∣=∫ ⁣ ⁣Dϕ O(ϕ) exp⁡ ⁣[−12Δ ⁣∫ ⁣(−∇2ϕ+V′(ϕ))2]det⁡ ⁣(−∇2+V′′(ϕ)).\begin{aligned} \langle \mathcal{O}\rangle_h &= \int \!\! \mathcal{D}h\, P[h]\, \mathcal{O}(\phi)\, \delta\!\big[-\nabla^2\phi+V'(\phi)-h\big]\,\big|\det \tfrac{\delta(-\nabla^2+V(\phi))}{\delta \phi}\big| \\ &= \int \!\! \mathcal{D}\phi\, \mathcal{O}(\phi)\, \exp\!\left[-\frac1{2\Delta}\!\int\! \big(-\nabla^2\phi+V'(\phi)\big)^2 \right] \det\!\big(-\nabla^2+V(\phi)\big). \end{aligned}⟨O⟩h​​=∫DhP[h]O(ϕ)δ[−∇2ϕ+V′(ϕ)−h]​detδϕδ(−∇2+V′′(ϕ))​​=∫DϕO(ϕ)exp[−2Δ1​∫(−∇2ϕ+V′(ϕ))2]det(−∇2+V′′(ϕ)).​ ここでJacobian（決定行列式）をグラスマン場 ψ,ψˉ\psi,\bar\psiψ,ψˉ​ で表す：

det⁡ ⁣(−∇2+V′′(ϕ))=∫ ⁣ ⁣Dψ Dψˉ  exp⁡ ⁣[− ⁣∫ψˉ (−∇2+V′′(ϕ)) ψ].\det\!\big(-\nabla^2+V(\phi)\big) = \int \!\! \mathcal{D}\psi\,\mathcal{D}\bar\psi\; \exp\!\left[ -\!\int \bar\psi\,\big(-\nabla^2+V(\phi)\big)\,\psi \right].det(−∇2+V′′(ϕ))=∫DψDψˉ​exp[−∫ψˉ​(−∇2+V′′(ϕ))ψ]. また補助ボソン FFF を入れて二乗項を線形化（完平方）：

exp⁡ ⁣[−12Δ ⁣∫ ⁣(−∇2ϕ+V′(ϕ))2]=∫ ⁣ ⁣DF  exp⁡ ⁣[− ⁣∫Δ2F2+i ⁣∫F(−∇2ϕ+V′(ϕ))].\exp\!\left[-\frac1{2\Delta}\!\int\! \big(-\nabla^2\phi+V'(\phi)\big)^2\right] =\int \!\! \mathcal{D}F\;\exp\!\left[-\!\int \frac{\Delta}{2}F^2 + i\!\int F\big(-\nabla^2\phi+V'(\phi)\big)\right].exp[−2Δ1​∫(−∇2ϕ+V′(ϕ))2]=∫DFexp[−∫2Δ​F2+i∫F(−∇2ϕ+V′(ϕ))]. これでSUSY 有効作用が得られる：

S[ϕ,ψ,ψˉ,F]=∫ddx  {Δ2F2+iF(−∇2ϕ+V′(ϕ))+ψˉ(−∇2+V′′(ϕ))ψ}.(1)S[\phi,\psi,\bar\psi,F] =\int d^dx\;\Big\{ \tfrac{\Delta}{2}F^2 +iF\big(-\nabla^2\phi+V'(\phi)\big) +\bar\psi\big(-\nabla^2+V(\phi)\big)\psi \Big\}. \tag{1}S[ϕ,ψ,ψˉ​,F]=∫ddx{2Δ​F2+iF(−∇2ϕ+V′(ϕ))+ψˉ​(−∇2+V′′(ϕ))ψ}.(1)

作用 (1) は以下の BRST 型変換で不変です（定数グラスマン ϵ\epsilonϵ）：

δϕ=ϵ ψ,δψ=0,δψˉ=ϵ (iF),δ(iF)=0.(2)\delta\phi=\epsilon\,\psi,\qquad \delta\psi=0,\qquad \delta\bar\psi=\epsilon\,\big(iF\big),\qquad \delta(iF)=0. \tag{2}δϕ=ϵψ,δψ=0,δψˉ​=ϵ(iF),δ(iF)=0.(2) この「SUSY（BRST）」は、確率方程式の解空間のヤコビアンとノイズ測度の釣り合い（Nicolai 構造）を表しており、Ward 恒等式を生みます。特にSUSY が保たれている限り、後に示す次元還元が成立します。

二つのグラスマン座標 θ,θˉ\theta,\bar\thetaθ,θˉ を導入し、超空間 X=(x,θ,θˉ)X=(x,\theta,\bar\theta)X=(x,θ,θˉ) 上の超場

Φ(X)=ϕ(x)+θˉ ψ(x)+ψˉ(x) θ+θˉθ (iF(x))(3)\Phi(X)=\phi(x) + \bar\theta\,\psi(x) + \bar\psi(x)\,\theta + \bar\theta\theta\, (iF(x)) \tag{3}Φ(X)=ϕ(x)+θˉψ(x)+ψˉ​(x)θ+θˉθ(iF(x))(3) を定義する。すると (1) は

S=1Δ∫ddx dθˉ dθ  [12 ∇Φ⋅∇Φ+U(Φ)](4)S = \frac{1}{\Delta}\int d^dx\, d\bar\theta\, d\theta\; \left[\tfrac12\, \nabla\Phi\cdot\nabla\Phi + U(\Phi)\right] \tag{4}S=Δ1​∫ddxdθˉdθ[21​∇Φ⋅∇Φ+U(Φ)](4) と書けます（適当な UUU を選べば V′(ϕ)=U′(ϕ)V'(\phi)=U'(\phi)V′(ϕ)=U′(ϕ) に一致）。ここで超ラプラシアン

□S  =  ∇x2  +  4 ∂θ∂θˉ(5)\square_S \;=\; \nabla_x^2 \;+\; 4\,\partial_\theta \partial_{\bar\theta} \tag{5}□S​=∇x2​+4∂θ​∂θˉ​(5) が自然に現れ、SUSY による Ward 恒等式はθ,θˉ\theta,\bar\thetaθ,θˉ 方向の「2 個の反可換次元」が、あたかも実次元を 2 つ減らすように働くことを意味します。

自由理論（または臨界で質量 0）の超グリーン関数 GSG_SGS​ は

−□S GS(X)  =  δ(d)(x) δ(θ) δ(θˉ).(6)-\square_S\, G_S(X) \;=\; \delta^{(d)}(x)\,\delta(\theta)\,\delta(\bar\theta). \tag{6}−□S​GS​(X)=δ(d)(x)δ(θ)δ(θˉ).(6) 回転・SUSY 不変性から GSG_SGS​ は超距離

R2  =  x2+c θˉθ(7)R^2 \;=\; x^2 + c\,\bar\theta\theta \tag{7}R2=x2+cθˉθ(7) （定数 c>0c>0c>0 は規格化で決まる）だけに依存し、

GS(X)  ∝  (R2)1−d2.(8)G_S(X) \;\propto\; (R^2)^{1-\frac{d}{2}}. \tag{8}GS​(X)∝(R2)1−2d​.(8) ここで θˉθ\bar\theta\thetaθˉθ の一次まで（高次は消える）で展開し、θ,θˉ\theta,\bar\thetaθ,θˉ を積分（∫dθˉ dθ θˉθ=1\int d\bar\theta\, d\theta\,\bar\theta\theta=1∫dθˉdθθˉθ=1）すると

∫dθˉ dθ  GS(x,θ,θˉ)  ∝  ∂(θˉθ)(R2)1−d2∣θˉθ=0  ∝  x−(d−2).(9)\int d\bar\theta\, d\theta\; G_S(x,\theta,\bar\theta) \;\propto\; \partial_{(\bar\theta\theta)} (R^2)^{1-\frac{d}{2}} \Big|_{\bar\theta\theta=0} \;\propto\; x^{-(d-2)}. \tag{9}∫dθˉdθGS​(x,θ,θˉ)∝∂(θˉθ)​(R2)1−2d​​θˉθ=0​∝x−(d−2).(9) 右辺はd−2d-2d−2 次元の質量ゼロ・ラプラシアンのグリーン関数に比例します。 ゆえに、SUSY Ward 恒等式を満たす相関関数（SUSY 不変オペレータの相関）は

∫dθˉ dθ  ⟨Φ(X1)Φ(X2)⟩  ∝  ⟨ϕ(x1)ϕ(x2)⟩pure in d−2(10)\boxed{\quad \int d\bar\theta\, d\theta\;\langle \Phi(X_1)\Phi(X_2)\rangle \;\propto\; \langle \phi(x_1)\phi(x_2)\rangle_{\text{pure in }d-2} \quad} \tag{10}∫dθˉdθ⟨Φ(X1​)Φ(X2​)⟩∝⟨ϕ(x1​)ϕ(x2​)⟩pure in d−2​​(10) という d→d−2d\to d-2d→d−2 の次元還元を与えます。 相互作用 U(Φ)U(\Phi)U(Φ) を含むときも、SUSY とその Ward 恒等式が保たれる限り、摂動論的には同等の主張が成り立ちます（Feynman 図において、2 つのグラスマン次元が 2 つの実次元に相当する寄与を「相殺」する）。

次元還元の核心は「(i) Nicolai 構造（写像のヤコビアン＝ゴースト行列式）」「(ii) BRST/SUSY Ward 恒等式」「(iii) 超空間の体積要素による −2-2−2 次元の見かけの削減」にあります。

ところがランダム系では非摂動的に以下が起こりうる：

1. 多重解・メタ安定性 方程式 (⋆)(\star)(⋆) に複数の物理的解（局所極小・鞍点）が存在。解全体の集合は連結でなくなり、ニコライ写像が大域的一対一でなくなる（ヤコビアンの符号反転や零点が出る）。
2. 境界項・ワーデン恒等式の破綻 BRST 掃き出し（全微分）として消えていた寄与が、解空間の境界や不安定方向からの寄与で消えなくなる。これがSUSY の自発的破れとして表れる（Ward 恒等式が成り立たない）。
3. 実効作用の cusp（非解析性） 無数の準安定状態が作る「エネルギー谷の樹状構造」は、有効ポテンシャルの cusp を誘発し、摂動展開や Borel 和の範囲外の非摂動効果で次元還元の同値を壊す。

物理的帰結としては、たとえばランダム場イジング模型（RFIM）で

• 摂動論は ddd 次元 RFIM の臨界指数が純系の d−2d-2d−2 次元と同じだと「予言」する（次元還元）。
• しかし低次元では実際の普遍数は一致しないことが知られ、これは非摂動的な SUSY 破れ（多重解・アバランシェ・ドロップレット）に起因すると解釈される。

式の立場から言えば、(10) を導く鍵である

• グリーン関数の超回転対称性（R2R^2R2 依存）、
• 及び θ,θˉ\theta,\bar\thetaθ,θˉ 積分が「実次元を 2 個減らす」ことを支えるWard 恒等式 が、SUSY 破れ（BRST 非不変）のために成立せず、∫dθˉdθ\int d\bar\theta d\theta∫dθˉdθ で境界項が落ちない／零モードが非対称となり、∝x−(d−2)\propto x^{-(d-2)}∝x−(d−2) への厳密マップが壊れます。

- SUSY が成り立つ（Nicolai 写像がよい挙動、Ward 恒等式が成立） ⇒ 次元還元：SUSY 不変相関は ddd 次元ランダム系 ↔ d−2d-2d−2 次元の純系 に写る。

• SUSY が破れる（多重解・ヤコビアン零／符号反転・境界項） ⇒ 次元還元が破綻：Ward 恒等式が壊れ、θ,θˉ\theta,\bar\thetaθ,θˉ 積分による「−2-2−2 次元」消去が成立しない。

必要なら、

• 具体的な U(Φ)=m22Φ2+g4!Φ4U(\Phi)=\tfrac{m^2}{2}\Phi^2+\tfrac{g}{4!}\Phi^4U(Φ)=2m2​Φ2+4!g​Φ4 のときの1 ループでの超プロパゲータと頂点の計算、
• RFIM の有効ポテンシャルに現れる cusp を toy 計算で示す手順、
• Nicolai 写像の局所的／大域的可逆性が Ward 恒等式にどう効くかの厳密操作、 も続けて書けます。どこまで掘りますか？

User: 相互作用ありでward恒等式が成り立つ場合SUSYが保たれる式展開、ward恒等式が成り立たない場合のSUSYが破れる式展開をお願いします

相互作用ありでward恒等式が成り立つ場合SUSYが保たれる式展開、ward恒等式が成り立たない場合のSUSYが破れる式展開をお願いします

Assistant: 了解です。相互作用を含む（＝一般のポテンシャル VϕV\phiVϕ を持つ）ランダム系の MSR/Parisi–Sourlas 形式で、

了解です。相互作用を含む（＝一般のポテンシャル V(ϕ)V(\phi)V(ϕ) を持つ）ランダム系の MSR/Parisi–Sourlas 形式で、

1. Ward 恒等式が成り立つ（SUSY 保持）ときの式展開
2. Ward 恒等式が壊れる（SUSY 破れ）ときの式展開

を同じ枠組みで並行に示します。以下では時空は ddd 次元、場は Φ=(ϕ,ψ,ψˉ,F)\Phi=(\phi,\psi,\bar\psi,F)Φ=(ϕ,ψ,ψˉ​,F) です。

確率方程式（Nicolai 方程式）

−∇2ϕ(x)+V′(ϕ(x))=h(x),h∼N(0,Δ)-\nabla^2 \phi(x) + V'(\phi(x)) = h(x),\qquad h\sim \mathcal N(0,\Delta)−∇2ϕ(x)+V′(ϕ(x))=h(x),h∼N(0,Δ) を経路積分化して、補助ボソン FFF とグラスマン ψ,ψˉ\psi,\bar\psiψ,ψˉ​ を導入すると、相互作用込みの SUSY 作用は

S[ϕ,ψ,ψˉ,F]=∫ddx[Δ2F2+iF(−∇2ϕ+V′(ϕ))+ψˉ(−∇2+V′′(ϕ))ψ].(1)\boxed{ S[\phi,\psi,\bar\psi,F] =\int d^dx\Big[ \tfrac{\Delta}{2}F^2 +iF(-\nabla^2\phi+V'(\phi)) +\bar\psi(-\nabla^2+V(\phi))\psi \Big]. } \tag{1}S[ϕ,ψ,ψˉ​,F]=∫ddx[2Δ​F2+iF(−∇2ϕ+V′(ϕ))+ψˉ​(−∇2+V′′(ϕ))ψ].​(1) BRST 型の SUSY 変換（定数グラスマン ϵ\epsilonϵ）：

δϕ=ϵ ψ,δψ=0,δψˉ=ϵ (iF),δ(iF)=0.(2)\delta\phi=\epsilon\,\psi,\qquad \delta\psi=0,\qquad \delta\bar\psi=\epsilon\,(iF),\qquad \delta(iF)=0. \tag{2}δϕ=ϵψ,δψ=0,δψˉ​=ϵ(iF),δ(iF)=0.(2) 発生関数は外部源 J,K,η,ηˉJ,K,\eta,\bar\etaJ,K,η,ηˉ​ を結合して

Z[J,K,η,ηˉ]=∫ ⁣Dϕ Dψ Dψˉ DF  e−S+∫(Jϕ+K iF+ηˉ ψ+ψˉ η).(3)Z[J,K,\eta,\bar\eta] =\int\!\mathcal D\phi\,\mathcal D\psi\,\mathcal D\bar\psi\,\mathcal DF\; e^{-S+\int(J\phi+K\,iF+\bar\eta\,\psi+\bar\psi\,\eta)}. \tag{3}Z[J,K,η,ηˉ​]=∫DϕDψDψˉ​DFe−S+∫(Jϕ+KiF+ηˉ​ψ+ψˉ​η).(3) 相関関数は W=ln⁡ZW=\ln ZW=lnZ の汎関数微分から得ます。

##

測度と作用が (2) で不変（δS=0\delta S=0δS=0、測度不変、境界項なし）なら

0=δZ=∫ ⁣DΦ  δ ⁣(e−S+sources)=⟨δ ⁣(∫Jϕ+K iF+ηˉ ψ+ψˉ η)⟩Z.(4)0=\delta Z =\int\! \mathcal D\Phi\;\delta\!\left(e^{-S+\text{sources}}\right) =\left\langle \delta\!\left(\int J\phi+K\,iF+\bar\eta\,\psi+\bar\psi\,\eta\right)\right\rangle Z . \tag{4}0=δZ=∫DΦδ(e−S+sources)=⟨δ(∫Jϕ+KiF+ηˉ​ψ+ψˉ​η)⟩Z.(4) (2) を代入して

∫ddx[J(x) δWδηˉ(x)+K(x)⋅0+ηˉ(x)⋅0+δWδη(x) η(x)]=0.(5)\boxed{ \int d^dx\Big[ J(x)\,\tfrac{\delta W}{\delta \bar\eta(x)} +K(x)\cdot 0 +\bar\eta(x)\cdot 0 +\tfrac{\delta W}{\delta \eta(x)}\,\eta(x) \Big]=0. } \tag{5}∫ddx[J(x)δηˉ​(x)δW​+K(x)⋅0+ηˉ​(x)⋅0+δη(x)δW​η(x)]=0.​(5) 源を 0 にしての関係や、さらに汎関数微分しての関係がWard 恒等式です。代表例として二点関数の関係：

⟨ϕ(x) iF(y)⟩=⟨ψ(x) ψˉ(y)⟩,⟨ϕ(x) ψ(y)⟩=0,⟨iF(x) iF(y)⟩=0,(6)\boxed{ \langle \phi(x)\, iF(y)\rangle =\langle \psi(x)\,\bar\psi(y)\rangle, } \qquad \boxed{ \langle \phi(x)\,\psi(y)\rangle=0,\quad \langle iF(x)\, iF(y)\rangle=0, } \tag{6}⟨ϕ(x)iF(y)⟩=⟨ψ(x)ψˉ​(y)⟩,​⟨ϕ(x)ψ(y)⟩=0,⟨iF(x)iF(y)⟩=0,​(6) など（必要な組合せは (5) を 1 回または 2 回微分して得られます）。 (6) は ボソン—フェルミオンの退化と応答—揺らぎの等価（MSR の FDT 型）を意味します。

Legendre 変換で φ=⟨ϕ⟩\varphi=\langle\phi\rangleφ=⟨ϕ⟩、f=⟨iF⟩f=\langle iF\ranglef=⟨iF⟩、χ=⟨ψ⟩\chi=\langle\psi\rangleχ=⟨ψ⟩、χˉ=⟨ψˉ⟩\bar\chi=\langle\bar\psi\rangleχˉ​=⟨ψˉ​⟩ を導入し

Γ[φ,f,χ,χˉ]=W−∫(Jφ+Kf+ηˉ χ+χˉ η).(7)\Gamma[\varphi,f,\chi,\bar\chi] = W-\int(J\varphi +K f+\bar\eta\,\chi+\bar\chi\,\eta). \tag{7}Γ[φ,f,χ,χˉ​]=W−∫(Jφ+Kf+ηˉ​χ+χˉ​η).(7) (5) を Γ\GammaΓ に書き換えると、SUSY の Zinn–Justin 恒等式（ソースを 0）：

∫ddx[δΓδφ(x) χ(x)+δΓδχˉ(x) f(x)]=0.(8)\boxed{ \int d^dx\left[ \frac{\delta\Gamma}{\delta \varphi(x)}\,\chi(x) +\frac{\delta\Gamma}{\delta \bar\chi(x)}\,f(x) \right]=0. } \tag{8}∫ddx[δφ(x)δΓ​χ(x)+δχˉ​(x)δΓ​f(x)]=0.​(8) (8) を 1 回微分して 2 点関数の逆行列の関係を得ると、たとえば運動量空間で

ΓϕF(p)=Γψˉψ(p),ΓFF(p)=0,Γϕψ(p)=0,(9)\boxed{ \Gamma_{\phi F}(p)=\Gamma_{\bar\psi\psi}(p),\qquad \Gamma_{FF}(p)=0,\qquad \Gamma_{\phi\psi}(p)=0, } \tag{9}ΓϕF​(p)=Γψˉ​ψ​(p),ΓFF​(p)=0,Γϕψ​(p)=0,​(9) 従って完全伝播関数も

GϕF(p)=Gψˉψ(p),GFF(p)=0,Gϕψ(p)=0.(10)\boxed{ G_{\phi F}(p)=G_{\bar\psi\psi}(p),\qquad G_{FF}(p)=0,\qquad G_{\phi\psi}(p)=0. } \tag{10}GϕF​(p)=Gψˉ​ψ​(p),GFF​(p)=0,Gϕψ​(p)=0.​(10) (9)(10) は相互作用 VVV が入っても SUSY が保持される限り全次数で成立します（繰り込み後も同型）。 この一組の恒等式が、次元還元の証明の骨格（ボソン線とフェルミオン線の厳密な打ち消し）を与えます。

SUSY 破れは 2 つに大別されます：

• 陽的破れ：作用に SUSY を壊す項が入る（ここでは扱わない）。
• 自発的破れ：測度の境界／零モード／Nicolai 写像の大域的障害により、δS=0\delta S=0δS=0 でも路積分の部分積分が境界項を生む。

以下は後者（スピングラスや RFIM で重要）です。

(4) の最後の等号で、測度の BRST 変換が 0 でない（あるいは場空間の無限遠やヤコビアンの零点から境界項が出る）と、

δZ=⟨δ(sources)⟩Z  +  A[J,K,η,ηˉ] Z,(11)\delta Z =\Big\langle \delta(\text{sources})\Big\rangle Z \;+\; \boxed{\mathcal A[J,K,\eta,\bar\eta]\,Z}, \tag{11}δZ=⟨δ(sources)⟩Z+A[J,K,η,ηˉ​]Z​,(11) というアノマリー（破れ）項 A\mathcal AA が現れます。物理的には：

• Nicolai 写像 ϕ↦h=−∇2ϕ+V′(ϕ)\phi \mapsto h=-\nabla^2\phi+V'(\phi)ϕ↦h=−∇2ϕ+V′(ϕ) が大域的一対一でない → ヤコビアン det⁡(−∇2+V′′(ϕ))\det(-\nabla^2+V(\phi))det(−∇2+V′′(ϕ)) に零・符号反転 → BRST の部分積分で境界寄与が消えない。

このとき (5) は

∫ddx[J δWδηˉ+δWδη η]=A[J,K,η,ηˉ].(12)\boxed{ \int d^dx\Big[ J\,\frac{\delta W}{\delta \bar\eta} +\frac{\delta W}{\delta \eta}\,\eta \Big] =\mathcal A[J,K,\eta,\bar\eta]. } \tag{12}∫ddx[Jδηˉ​δW​+δηδW​η]=A[J,K,η,ηˉ​].​(12) 源を 0 に戻しても A[0,0,0,0]=A0≠0\mathcal A[0,0,0,0]=\mathcal A_0\neq 0A[0,0,0,0]=A0​=0 が残ると、Ward 恒等式が破れる。

(12) を 1 回微分して得られる代表的な改変：

⟨ϕ(x) iF(y)⟩−⟨ψ(x) ψˉ(y)⟩=Δ1(x,y),⟨iF(x) iF(y)⟩=Δ2(x,y),(13)\boxed{ \langle \phi(x)\, iF(y)\rangle -\langle \psi(x)\,\bar\psi(y)\rangle =\Delta_{1}(x,y), } \qquad \boxed{ \langle iF(x)\, iF(y)\rangle =\Delta_{2}(x,y), } \tag{13}⟨ϕ(x)iF(y)⟩−⟨ψ(x)ψˉ​(y)⟩=Δ1​(x,y),​⟨iF(x)iF(y)⟩=Δ2​(x,y),​(13) ここで Δ1,2\Delta_{1,2}Δ1,2​ はアノマリー源 A\mathcal AA に由来する非零の違反項（しばしば長距離スケールで有意）。 幾何学的には、多重解・メタ安定谷の鞍点零モードが非対称に寄与し、 ψˉψ\bar\psi\psiψˉ​ψ 線（行列式）が完全には打ち消さないために (6) の等式が崩れる、と解釈できます。

(8) は

∫ddx[δΓδφ χ+δΓδχˉ f]=Σ[φ,f,χ,χˉ] ,(14)\int d^dx\left[ \frac{\delta\Gamma}{\delta \varphi}\,\chi +\frac{\delta\Gamma}{\delta \bar\chi}\,f \right] =\boxed{\Sigma[\varphi,f,\chi,\bar\chi]}\,, \tag{14}∫ddx[δφδΓ​χ+δχˉ​δΓ​f]=Σ[φ,f,χ,χˉ​]​,(14) に改まります。右辺 Σ\SigmaΣ はアノマリーの 1PI 表現で、Σ≢0\Sigma\not\equiv 0Σ≡0 なら

ΓϕF(p)−Γψˉψ(p)=Ξ1(p),ΓFF(p)=Ξ2(p),(15)\boxed{ \Gamma_{\phi F}(p)-\Gamma_{\bar\psi\psi}(p) =\Xi_1(p),\qquad \Gamma_{FF}(p)=\Xi_2(p), } \tag{15}ΓϕF​(p)−Γψˉ​ψ​(p)=Ξ1​(p),ΓFF​(p)=Ξ2​(p),​(15) が生じ、結果として完全伝播関数も

GϕF(p)−Gψˉψ(p)=Ξ^1(p),GFF(p)=Ξ^2(p),(16)\boxed{ G_{\phi F}(p)-G_{\bar\psi\psi}(p) =\widehat\Xi_1(p),\qquad G_{FF}(p)=\widehat\Xi_2(p), } \tag{16}GϕF​(p)−Gψˉ​ψ​(p)=Ξ1​(p),GFF​(p)=Ξ2​(p),​(16) とSUSY の質量縮退・線の打消しが失効します。 この破れが積み重なると、次元還元（d→d−2d\to d-2d→d−2）の同値を支える線図級の精密な相殺が崩れ、臨界指数の一致が破綻します（RFIM で観測される現象）。

- SUSY 保持下：頂点は常に ϕ\phiϕ-ϕ\phiϕ と ψˉ\bar\psiψˉ​-ψ\psiψ に V′′(ϕ)V(\phi)V′′(ϕ) を通じて同型に現れ、(9)(10) が各次数で成り立つ（ボソン・フェルミオン線の数が Ward により一致）。結果として GFF=0G_{FF}=0GFF​=0、GϕF=GψˉψG_{\phi F}=G_{\bar\psi\psi}GϕF​=Gψˉ​ψ​ が保たれ、次元還元の証明に必要な線図の対消が成立。

• SUSY 破れ下：効果的ポテンシャルに cusp（非解析性）が立つ、あるいは 複数の極小への寄与が測度境界から残ると、(15)(16) の Ξ\XiΞ が非零。1 ループでも、特定の外部運動量領域で GFF(p)≠0G_{FF}(p)\neq 0GFF​(p)=0 が発生し、応答—揺らぎの等式が壊れる。これが IR で効くと臨界普遍数の乖離へ。

- SUSY 保持（Ward 恒等式が成り立つ） - 路積分：δ\deltaδ による部分積分で境界項 0 → (5)。 - 2 点：GϕF=GψˉψG_{\phi F}=G_{\bar\psi\psi}GϕF​=Gψˉ​ψ​, GFF=0G_{FF}=0GFF​=0 など (6)(10)。 - 1PI：ΓϕF=Γψˉψ\Gamma_{\phi F}=\Gamma_{\bar\psi\psi}ΓϕF​=Γψˉ​ψ​, ΓFF=0\Gamma_{FF}=0ΓFF​=0 など (9)。 - 帰結：線図対消と次元還元（d→d−2d\to d-2d→d−2）。

• SUSY 破れ（Ward 恒等式が破綻） - 路積分：測度／境界の寄与 A≠0\mathcal A\neq 0A=0 → (12)。 - 2 点：違反項 Δ1,2\Delta_{1,2}Δ1,2​ により (13)。 - 1PI：Zinn–Justin 恒等式に Σ\SigmaΣ → (14)(15)(16)。 - 帰結：退化の破れ・応答—揺らぎの破れ・次元還元の破綻。

必要なら、上の A\mathcal AA、Σ\SigmaΣ を具体的な境界ヤコビアン（たとえば Nicolai 写像の臨界点集合の寄与）として、トイモデルで明示計算するメモ（有限次元の確率積分でのSUSY 破れアノマリー→連続系への持ち上げ）も用意できます。どこを数式でさらに埋めますか？

User: SUSY 破れから無数のメタステーブル解が現れる様子の式展開をしてください

SUSY 破れから無数のメタステーブル解が現れる様子の式展開をしてください

Assistant: いいテーマです。「SUSY 破れ ⇒ 無数（指数的多数）のメタステーブル解」を、二つの標準ルートで式展開します。

いいテーマです。「SUSY 破れ ⇒ 無数（指数的多数）のメタステーブル解」を、二つの標準ルートで式展開します。

1. TAP/モナソン（replicated potential）ルート：状態数（複雑度）Σ\SigmaΣ を自由エネルギーのレジェンドル構造で導く
2. Kac–Rice（停留点の期待個数）＋SUSY 表式：停留点数を超対称化して数え、SUSY 破れでキャンセルが崩れ指数的増殖が現れる

Ⅰ. TAP/Monasson 法：

Σ ( 𝑓 ) Σ(f) と SUSY 破れ

Ⅰ-1. 「状態」を数える生成汎関数

スピングラス（SK や球面 ppp-spin）で、TAP 自由エネルギー FTAP(m)F_{\rm TAP}(\mathbf m)FTAP​(m) の停留点

∂FTAP∂mi=0\frac{\partial F_{\rm TAP}}{\partial m_i}=0∂mi​∂FTAP​​=0 を「状態（準安定解）α\alphaα」と呼び、その自由エネルギー密度を fα=FTAP(mα)/Nf_\alpha=F_{\rm TAP}(\mathbf m^\alpha)/Nfα​=FTAP​(mα)/N とします。複雑度（状態数の指数レート）

Σ(f)  ≡  lim⁡N→∞1Nln⁡N(f),N(f)=∑αδ ⁣(f−fα)\Sigma(f) \;\equiv\; \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\ln \mathcal N(f), \qquad \mathcal N(f)=\sum_\alpha \delta\!\big(f-f_\alpha\big)Σ(f)≡N→∞lim​N1​lnN(f),N(f)=α∑​δ(f−fα​) を求めたい。

Monasson の「束縛レプリカ」生成関数を入れます：

Zm  ≡  ∑αe−βmNfα  =  ∫ ⁣Dm Dψ Dψˉ Dx  exp⁡ ⁣[−Sm(m,ψ,ψˉ,x)].(1)Z_m \;\equiv\; \sum_\alpha e^{-\beta m N f_\alpha} \;=\; \int \! \mathcal D\mathbf m\,\mathcal D\psi\,\mathcal D\bar\psi\,\mathcal D\mathbf x\; \exp\!\Big[-S_m(\mathbf m,\psi,\bar\psi,\mathbf x)\Big]. \tag{1}Zm​≡α∑​e−βmNfα​=∫DmDψDψˉ​Dxexp[−Sm​(m,ψ,ψˉ​,x)].(1) ここで（TAP 停留点を δ\deltaδ-拘束し、Jacobian をグラスマンで表す）

Sm=βm FTAP(m)+i x ⁣⋅ ⁣∇FTAP(m)+ψˉ⊤ ⁣(∇2FTAP(m))ψ.(2)S_m = \beta m\,F_{\rm TAP}(\mathbf m) + i\,\mathbf x\!\cdot\!\nabla F_{\rm TAP}(\mathbf m) + \bar\psi^\top \!\big(\nabla^2 F_{\rm TAP}(\mathbf m)\big)\psi. \tag{2}Sm​=βmFTAP​(m)+ix⋅∇FTAP​(m)+ψˉ​⊤(∇2FTAP​(m))ψ.(2) x\mathbf xx は補助ボソン、ψ,ψˉ\psi,\bar\psiψ,ψˉ​ はグラスマン。これは BRST 型 SUSY を持つ（δm=ϵ ψ\delta \mathbf m=\epsilon\,\psiδm=ϵψ, δψˉ=ϵ ix\delta\bar\psi=\epsilon\, i\mathbf xδψˉ​=ϵix, …）。

自由エネルギー（レプリカ拘束ポテンシャル）を

ϕ(m)  ≡  −1βmNln⁡Zm(3)\phi(m) \;\equiv\; -\frac{1}{\beta m N}\ln Z_m \tag{3}ϕ(m)≡−βmN1​lnZm​(3) と定義すると、{f,Σ}\{f,\Sigma\}{f,Σ} はレジェンドル関係で得られる：

f(m)=∂∂m[m ϕ(m)],Σ(f(m))=βm2 ∂ϕ(m)∂m.(4)\boxed{ f(m)=\frac{\partial}{\partial m}\big[m\,\phi(m)\big],\qquad \Sigma\big(f(m)\big)=\beta m^2\,\frac{\partial \phi(m)}{\partial m}. } \tag{4}f(m)=∂m∂​[mϕ(m)],Σ(f(m))=βm2∂m∂ϕ(m)​.​(4)

• 熱平衡に対応する m=1m=1m=1 で SUSY が保たれていると、Ward 恒等式により Σ=0\Sigma=0Σ=0（状態数は指数的に増えない）。
• ガラス相・RSB 相では、m<1m<1m<1 の 1RSB 解が支配し、SUSY Ward が破れて ∂mϕ≠0\partial_m\phi\neq 0∂m​ϕ=0 が現れ、Σ>0\Sigma>0Σ>0 となる（指数的多数の状態）。

Ⅰ-2. 1RSB 鞍点方程式と複雑度

たとえば球面 ppp-spin で順序パラメータ (q1,q0,m)(q_1,q_0,m)(q1​,q0​,m) をとる 1RSB の ϕ(m)\phi(m)ϕ(m) を極値化し、

∂ϕ∂q1=0,∂ϕ∂q0=0,∂ϕ∂m=0(5)\frac{\partial \phi}{\partial q_1}=0,\quad \frac{\partial \phi}{\partial q_0}=0,\quad \frac{\partial \phi}{\partial m}=0 \tag{5}∂q1​∂ϕ​=0,∂q0​∂ϕ​=0,∂m∂ϕ​=0(5) を解くと（詳細な係数はモデル固有）、(4) から

Σ(f)  =  βm2∂ϕ∂m∣1RSB  >  0(6)\boxed{ \Sigma(f)\;=\;\beta m^2 \frac{\partial \phi}{\partial m}\Big|_{\rm 1RSB}\;>\;0 } \tag{6}Σ(f)=βm2∂m∂ϕ​​1RSB​>0​(6) が得られる領域（閾値自由エネルギー fthf_{\rm th}fth​ まで）が現れる。ここで レプリコン固有値 λR\lambda_{\rm R}λR​ が

λR=0(7)\lambda_{\rm R}=0 \tag{7}λR​=0(7) （marginal 条件）を満たすラインが「SUSY 破れ境界」と一致し、そこから上（より高い fff）で Σ>0\Sigma>0Σ>0（指数的多数の準安定谷）が現れるのが典型です。

直観：SUSY が保たれるとボソン・フェルミオン線の Ward による厳密相殺で「状態の指数増殖」が抑えられ、SUSY が破れると相殺が崩れ、

∂

𝑚

𝜙

≠

0

⇒

Σ

>

0

∂

m

​

ϕ



=0⇒Σ>0 が生じます。

Ⅱ. Kac–Rice ルート：停留点の指数的多数と SUSY 破れ

Ⅱ-1. 停留点の期待個数（Kac–Rice）

球面上の ppp-spin ハミルトニアン H(s)H(\mathbf s)H(s)（∥s∥2=N\|\mathbf s\|^2=N∥s∥2=N）に対し、エネルギー密度 e=H/Ne=H/Ne=H/N で停留点（∇H=0\nabla H=0∇H=0）の期待個数は

E N(e)=E ⁣[∫ds  δ(∇H)  ∣det⁡∇2H∣  δ ⁣(H−Ne)].(8)\mathbb E\,\mathcal N(e) =\mathbb E\!\left[ \int d\mathbf s\;\delta(\nabla H)\; \big|\det \nabla^2 H\big|\; \delta\!\big(H-N e\big) \right]. \tag{8}EN(e)=E[∫dsδ(∇H)​det∇2H​δ(H−Ne)].(8) ガウス統計の HHH では、勾配とヘッセ行列は GOE 変数と独立に扱え、大 NNN で

E N(e)  ≍  exp⁡ ⁣{N ΣKR(e)},(9)\boxed{ \mathbb E\,\mathcal N(e)\;\asymp\;\exp\!\big\{N\,\Sigma_{\rm KR}(e)\big\}, } \tag{9}EN(e)≍exp{NΣKR​(e)},​(9) という指数則（複雑度 ΣKR(e)\Sigma_{\rm KR}(e)ΣKR​(e)）が出ます。極小・鞍点の指数別個数 Nk(e)\mathcal N_k(e)Nk​(e) についても同様で、それぞれ Σk(e)\Sigma_k(e)Σk​(e) が得られます。

Ⅱ-2. SUSY 表式と「符号付き」計数

(8) の ∣det⁡∣|\det|∣det∣ をSUSY で表すと

∣det⁡∇2H∣  =  det⁡∇2H⏟∫ ⁣Dψ Dψˉ e−ψˉ⊤(∇2H)ψ×sgndet⁡∇2H⏟Morse 指標.(10)\big|\det \nabla^2 H\big| \;=\; \underbrace{\det \nabla^2 H}_{\displaystyle \int \! \mathcal D\psi\,\mathcal D\bar\psi\,e^{-\bar\psi^\top(\nabla^2 H)\psi} }\times \underbrace{{\rm sgn}\det\nabla^2 H}_{\text{Morse 指標}}. \tag{10}​det∇2H​=∫DψDψˉ​e−ψˉ​⊤(∇2H)ψdet∇2H​​×Morse 指標sgndet∇2H​​.(10) SUSY（BRST）Ward が完全に成り立つ状況では、「符号付き」計数

χ  ≡  ∫ds δ(∇H)  det⁡∇2H(11)\chi \;\equiv\; \int d\mathbf s\,\delta(\nabla H)\;\det \nabla^2 H \tag{11}χ≡∫dsδ(∇H)det∇2H(11) （＝Witten 指数＝マニフォールドのオイラー標数に等しい）が保存量として働き、ボソン・フェルミオンの相殺で指数的増殖が抑えられる（χ\chiχ は O(1)\mathcal O(1)O(1)）。

ところがSUSY が破れると、(10) の相殺が崩れ、∣det⁡∣|\det|∣det∣ と det⁡\detdet の差（符号の偏り）が有意になり、

E N(e)  ∝  E ⁣[∫δ(∇H) det⁡∇2H]×⟨sgndet⁡∇2H⟩−1⏟SUSY 破れで非自明  ≍  eNΣ(e).(12)\mathbb E\,\mathcal N(e) \;\propto\; \mathbb E\!\left[\int \delta(\nabla H)\,\det\nabla^2 H\right] \times \underbrace{\Big\langle {\rm sgn}\det\nabla^2 H\Big\rangle^{-1}}_{\text{SUSY 破れで非自明}} \;\asymp\; e^{N\Sigma(e)}. \tag{12}EN(e)∝E[∫δ(∇H)det∇2H]×SUSY 破れで非自明⟨sgndet∇2H⟩−1​​≍eNΣ(e).(12) 要点は：SUSY が成り立つと「符号付き」合計＝トポロジカル定数になり、指数的増殖が打ち消される。SUSY 破れでその打消しが失効し、∣det⁡∣|\det|∣det∣ の絶対値が効いて Σ(e)>0\Sigma(e)>0Σ(e)>0（指数的多数）が露出します。

Ⅱ-3. GOE 固有値の大偏差と指数的多数

ΣKR(e)\Sigma_{\rm KR}(e)ΣKR​(e) は、ヘッセ行列 ∇2H\nabla^2 H∇2H の固有値分布（GOE のシフト）ρ(λ)\rho(\lambda)ρ(λ) の大偏差汎関数を極値化して得られます。略記すると

ΣKR(e)=extrμ,ρ{−μ22σ2(e)+∫dλ  ρ(λ) ln⁡∣λ+μ∣−I[ρ]}+const(e),(13)\Sigma_{\rm KR}(e) = \underset{\mu,\rho}{\rm extr}\left\{ -\frac{\mu^2}{2\sigma^2(e)} +\int d\lambda\;\rho(\lambda)\,\ln|\lambda+\mu| -\mathcal I[\rho] \right\} +\text{const}(e), \tag{13}ΣKR​(e)=μ,ρextr​{−2σ2(e)μ2​+∫dλρ(λ)ln∣λ+μ∣−I[ρ]}+const(e),(13) ここで μ\muμ は勾配拘束由来のラグランジュ乗数、I[ρ]\mathcal I[\rho]I[ρ] は GOE の速度関数。極小のみ数えるには ρ\rhoρ を下端が正になるよう拘束。ガラス相では極小や鞍点の Σk(e)\Sigma_k(e)Σk​(e) が正となり、(9) が成り立ちます。これは (11) のトポロジカル不変量では制御できない「絶対値の効果＝SUSY 破れの帰結」です。

Ⅲ. まとめ：機構の対応

| 観点 | SUSY 保持 | SUSY 破れ | | ------------------------ | --------------------------------- | ------------------------------------------- | | Monasson 𝜙 ( 𝑚 ) ϕ(m) | Ward により 𝑚 = 1 m=1 で Σ = 0 Σ=0 | 𝑚 < 1 m<1 の 1RSB/marginal 解が支配し Σ > 0 Σ>0 | | TAP 超対称作用 | BRST 恒等式：ボソン=フェルミオン線 | 恒等式に違反項 → 相殺崩壊 | | Kac–Rice | 「符号付き」合計＝オイラー標数（ 𝑂 ( 1 ) O(1)） | ( | | 物理像 | 単一谷／エルゴード的 | 多谷（指数個）／非エルゴード・メタ安定 |

補足：実用的な式の使い方

• 実際に Σ(f)\Sigma(f)Σ(f) を描くなら、(4)–(6) を使って 1RSB の鞍点方程式を数値で解き、ϕ(m)\phi(m)ϕ(m) を微分して Σ\SigmaΣ を算出。
• 停留点の指標別を見たいなら、Kac–Rice の (8) を「ヘッセ固有値の下端 >0>0>0」などの指標拘束で評価して Σk(e)\Sigma_k(e)Σk​(e) を得る。
• SUSY 破れの指標としては、レプリコン λR=0\lambda_{\rm R}=0λR​=0（marginal line）や、BRST Ward から導かれる ⟨ϕ F⟩−⟨ψψˉ⟩≠0\langle \phi\,F\rangle-\langle\psi\bar\psi\rangle\neq 0⟨ϕF⟩−⟨ψψˉ​⟩=0 の違反をチェック。

必要なら、球面 ppp-spin の具体的な 1RSB 方程式（q1,q0,mq_1,q_0,mq1​,q0​,m の連立）と、Σ(e)\Sigma(e)Σ(e)・Σ(f)\Sigma(f)Σ(f) の数式テンプレートをそのまま実装できる形でお渡しします。どのモデル（SK / 球面 ppp-spin / RFIM 近似）で出しますか？