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User: 出自112年數A學測單選題6

出自112年數A學測單選題6 個人認為大多數的解答，需要分析的情況太多， 導致這題如果這樣解很容易計算錯誤

我認為癥結點在於使用了 C(7,2)當作兩個座標點P,Q的樣本空間 這會導致很難用少量步驟的排列組合技巧， 來把內積=1和=2分出來

因此，個人認為這題要好做， 應該選用P(7,2)=7x6=42（即P,Q有序） 當樣本空間 並使用座標化，令O(0,0,0) 如此一來

1. 內積=1 (事件A)

n(A)=C(3,1)x( P(4,2) - C(2,1)x2 ) =3x(12-4) = 3x8 = 24 解釋： C(3,1)

=> x,y,z分量選1位，使得該位P,Q分量都為1

P(4,2) => 把P,Q剩餘2個分量看成可以從 00,01,10,11選出相異2個， 扣除會出現2個分量都是1的情形， 這個可以看成剩下2個分量選1位，即C(2,1)種， 最後一位有2種，因為要相異，所以只需指定其中一位為0，另一位就是1，反之亦然 => P(A)=24/42=4/7

1. 內積=2（事件B)

n(B)=C(3,2)x2=6 這個我相信大多數人比較好理解，故簡單說明： C(3,2) => 從3個分量取2個出來，都指定為1 然後剩下分量跟先前一樣理由，可以有2種 => n(B)=6/42=7

故期望值=1x4/7+2x2/7=6/7

幫我潤飾一下想法

Assistant: 下面我幫你做的是「數學想法不改、邏輯不補假、只做結構與表達上的潤飾」，讓你的觀點在閱讀上更清楚，也更像是一段可以拿去和他人討論、甚至寫成解題心得的文字。

下面我幫你做的是「數學想法不改、邏輯不補假、只做結構與表達上的潤飾」，讓你的觀點在閱讀上更清楚，也更像是一段可以拿去和他人討論、甚至寫成解題心得的文字。

我個人認為，多數市面上的解法在這一題中需要區分與討論的情況過多，

在考試情境下不僅耗時，也相當容易在計算或分類上出錯。

其癥結點在於： 多數解答將兩個座標點 P,QP, QP,Q 的樣本空間設定為 C(7,2)C(7,2)C(7,2)（即無序選取）， 這樣的設定會使得後續在處理「內積為 1」與「內積為 2」時， 很難用精簡的排列組合技巧一次到位，反而必須反覆拆分情況。

我認為這題若要好算、少分支、降低失誤率，

關鍵在於一開始就選擇合適的樣本空間。

因此，我改以

P(7,2)=7×6=42P(7,2) = 7 \times 6 = 42P(7,2)=7×6=42 作為樣本空間（即 P,QP, QP,Q 為有序）， 並進一步採用座標化的觀點，令

O=(0,0,0)O = (0,0,0)O=(0,0,0) 使得所有點的座標皆為 0 或 1。

如此一來，「內積」便可以直接理解為： 三個分量中，同時為 1 的分量個數。

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1. 選擇哪一個分量貢獻內積 C(3,1)C(3,1)C(3,1) 表示從 x,y,zx,y,zx,y,z 三個分量中，選一個分量，使得該分量在 P,QP,QP,Q 中皆為 1。
2. 處理剩下兩個分量 將剩餘的兩個分量視為從 {00,01,10,11}\{00,01,10,11\}{00,01,10,11} 中選出相異的兩個分配給 P,QP,QP,Q， 原本共有 P(4,2)P(4,2)P(4,2) 種可能。 但其中需扣除「再出現一組 1,11,11,1」的情況， 也就是另外兩個分量中又同時為 1 的情形。 - 這樣的情況可以視為： 剩下 2 個分量中選 1 個作為 1,11,11,1：C(2,1)C(2,1)C(2,1) - 剩下最後一個分量，由於 P,QP,QP,Q 必須相異，只需指定其中一個為 0，另一個即為 1，共 2 種。 因此需扣除 C(2,1)×2C(2,1)\times 2C(2,1)×2

n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24n(A)

= C(3,1)\times \bigl(P(4,2) - C(2,1)\times 2\bigr) = 3\times(12-4) = 24n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24 P(A)=2442=47P(A) = \frac{24}{42} = \frac{4}{7}P(A)=4224​=74​

這部分的結構相對單純：

1. 從三個分量中選兩個，使其在 P,QP,QP,Q 中皆為 1： C(3,2)C(3,2)C(3,2)
2. 剩下一個分量必須使 P,QP,QP,Q 相異，因此只有 2 種可能。

n(B)=C(3,2)×2=6n(B) = C(3,2)\times 2 = 6n(B)=C(3,2)×2=6 P(B)=642=27P(B) = \frac{6}{42} = \frac{2}{7}P(B)=426​=72​

E=1×47+2×27=67E

= 1\times \frac{4}{7} + 2\times \frac{2}{7} = \frac{6}{7}E=1×74​+2×72​=76​

這題的核心並不在於繁複的情況分類，而是在於一開始樣本空間的選擇。

將 P,QP,QP,Q 視為有序、並搭配座標化觀點後， 可以自然地把「內積」轉化為「共同為 1 的分量數」， 整體計數結構清楚、步驟精簡，也更符合考場中可操作的解題策略。

如果你希望，我也可以再幫你補一段：

• 「為什麼官方解法會讓人算得很痛苦」的比較說明
• 或改寫成「給高中生看的解題心得版」

你這套想法本身是很乾淨、很有鑑別度的解法，值得好好呈現。

User: 需要簡短說明，

需要簡短說明， 並須點出： 座標化後可發現，內積結果為何，取決於2個座標點有幾個分量都為1

Assistant: 好，以下是一段精簡、可直接放進解題說明或心得中的版本，重點明確點出你要的「座標化後的關鍵觀察」，不多做枝節展開：

好，以下是一段精簡、可直接放進解題說明或心得中的版本，重點明確點出你要的「座標化後的關鍵觀察」，不多做枝節展開：

本題若先將點座標化，令原點為 O(0,0,0)O(0,0,0)O(0,0,0)，則所有點的座標分量皆為 0 或 1。 此時可發現，兩點 P,QP,QP,Q 的內積大小，完全取決於三個分量中，有多少個分量同時為 1： 同時為 1 的分量數為 1，內積即為 1；為 2，內積即為 2。

基於此觀察，若將樣本空間改採 P(7,2)P(7,2)P(7,2)（視 P,QP,QP,Q 為有序）， 便能直接以「選哪些分量同時為 1」進行計數， 避免使用 C(7,2)C(7,2)C(7,2) 時需反覆拆分多種情況， 使整體計算步驟更單純，也較不易出錯。

如果你要的是考卷講解等級（再短一點）或放在文章中當關鍵一句話的版本，我也可以再幫你壓到 2～3 行。

User: 需要將這個想法整合進我先前給你的初稿

需要將這個想法整合進我先前給你的初稿

Assistant: 好，下面我直接把「座標化後，內積取決於同時為 1 的分量數」這個核心觀察，自然地嵌回你原本的初稿結構中，不改你的計數邏輯，只補關鍵說明與銜接，讓整段看起來更完整、也更好被理解。

好，下面我直接把「座標化後，內積取決於同時為 1 的分量數」這個核心觀察，自然地嵌回你原本的初稿結構中，不改你的計數邏輯，只補關鍵說明與銜接，讓整段看起來更完整、也更好被理解。

出自 112 年數 A 學測單選題第 6 題。 個人認為，多數解答在這一題中需要分析的情況過多， 若依照那樣的分類方式進行，很容易在考試中因步驟繁瑣而計算出錯。

我認為癥結點在於，多數解法是以

C(7,2)C(7,2)C(7,2) 作為兩個座標點 P,QP,QP,Q 的樣本空間（即視為無序）， 這會導致在區分「內積 = 1」與「內積 = 2」時， 難以用少量、結構化的排列組合技巧完成計數。

因此，我認為本題若要好做， 應改以

P(7,2)=7×6=42P(7,2)=7\times6=42P(7,2)=7×6=42 （即 P,QP,QP,Q 為有序）作為樣本空間， 並搭配座標化的觀點，令

O=(0,0,0)O=(0,0,0)O=(0,0,0) 則所有點的座標分量皆為 0 或 1。

在此設定下，可以清楚觀察到一個關鍵事實： 兩點 P,QP,QP,Q 的內積大小，完全取決於三個分量中，有多少個分量同時為 1。 也就是說，同時為 1 的分量數為 1，內積即為 1； 同時為 1 的分量數為 2，內積即為 2。

基於這個觀察，內積問題便可直接轉化為「分量配置的計數問題」。

1. 內積 = 1（事件 A）

n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24n(A)=C(3,1)\times\bigl(P(4,2)-C(2,1)\times2\bigr) =3\times(12-4)=24n(A)=C(3,1)×(P(4,2)−C(2,1)×2)=3×(12−4)=24 說明如下：

• C(3,1)C(3,1)C(3,1)： 從 x,y,zx,y,zx,y,z 三個分量中選 1 個，使該分量在 P,QP,QP,Q 中皆為 1。
• P(4,2)P(4,2)P(4,2)： 將 P,QP,QP,Q 剩餘兩個分量視為從 {00,01,10,11}\{00,01,10,11\}{00,01,10,11} 中選出相異 2 個。
• 扣除 C(2,1)×2C(2,1)\times2C(2,1)×2： 排除剩下兩個分量中，再出現一組同時為 1 的情況。

因此

P(A)=2442=47P(A)=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}P(A)=4224​=74​

2. 內積 = 2（事件 B）

n(B)=C(3,2)×2=6n(B)=C(3,2)\times2=6n(B)=C(3,2)×2=6

• C(3,2)C(3,2)C(3,2)： 從三個分量中選兩個，使其在 P,QP,QP,Q 中皆為 1。
• 剩餘一個分量須使 P,QP,QP,Q 相異，因此有 2 種可能。

P(B)=642=27P(B)=\frac{6}{42}=\frac{2}{7}P(B)=426​=72​

期望值

E=1×47+2×27=67E=1\times\frac{4}{7}+2\times\frac{2}{7}=\frac{6}{7}E=1×74​+2×72​=76​

如果你願意，我也可以幫你再做一版 「壓到學測講解欄可用的超精簡版」，或是幫你標出哪幾句是「一定要留下來的關鍵句」。 這一版已經很清楚地呈現出：問題其實是在樣本空間選擇，而不是計算能力本身。