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gpt-5-thinking

User: 다항함수 fx의 한 부정적분을 Fx라 하고 ,함수 2fx+1의 한 부정적분을 Gx라 하자.

다항함수 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하고 ,함수 2f(x)+1의 한 부정적분을 G(x)라 하자. G(3)=2F(3)일 때, G(5)-2F(5)의 값은?

Assistant: 풀이 아이디어는 HxGx−2FxHxGx-2FxHxGx−2Fx를 두는 것입니다.

풀이 아이디어는 H(x)=G(x)−2F(x)H(x)=G(x)-2F(x)H(x)=G(x)−2F(x)를 두는 것입니다.

• F′(x)=f(x)F'(x)=f(x)F′(x)=f(x), G′(x)=2f(x)+1G'(x)=2f(x)+1G′(x)=2f(x)+1 이므로 H′(x)=G′(x)−2F′(x)=(2f(x)+1)−2f(x)=1H'(x)=G'(x)-2F'(x)=(2f(x)+1)-2f(x)=1H′(x)=G′(x)−2F′(x)=(2f(x)+1)−2f(x)=1.
• 따라서 H(x)=x+CH(x)=x+CH(x)=x+C.

주어진 G(3)=2F(3)G(3)=2F(3)G(3)=2F(3)는 H(3)=0H(3)=0H(3)=0을 의미하므로 3+C=03+C=03+C=0, 즉 C=−3C=-3C=−3.

따라서 H(x)=x−3H(x)=x-3H(x)=x−3이고,

G(5)−2F(5)=H(5)=5−3=2.G(5)-2F(5)=H(5)=5-3=2.G(5)−2F(5)=H(5)=5−3=2. 정답: 222. (특정 fff의 형태와 무관하게 성립합니다.)

User: 모든 항이 양수인 등비수열 {an}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 Sn이라 하자.

모든 항이 양수인 등비수열 {a_n}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 S_n이라 하자. a_2=1, 시그마k=1~6, {(-1)^k 곱하기 S_k}=21일 때, S_2+S_7의 값은?

Assistant: 등비수열의 첫째항을 aaa, 공비를 rrr라 두면 a2ar1a2ar1a2​ar1이므로 a1ra\dfrac1rar1​입니다.

등비수열의 첫째항을 aaa, 공비를 rrr라 두면 a2=ar=1a_2=ar=1a2​=ar=1이므로 a=1ra=\dfrac1ra=r1​입니다. r≠1r\neq1r=1일 때

Sk=a 1−rk1−r=1r⋅1−rk1−r.S_k=a\,\frac{1-r^k}{1-r}=\frac{1}{r}\cdot\frac{1-r^k}{1-r}.Sk​=a1−r1−rk​=r1​⋅1−r1−rk​. 주어진 조건을 계산하면

∑k=16(−1)kSk=1r(1−r)∑k=16(−1)k(1−rk)=−1r(1−r)∑k=16(−r)k.\sum_{k=1}^{6}(-1)^k S_k =\frac{1}{r(1-r)}\sum_{k=1}^{6}(-1)^k(1-r^k) =-\frac{1}{r(1-r)}\sum_{k=1}^{6}(-r)^k.k=1∑6​(−1)kSk​=r(1−r)1​k=1∑6​(−1)k(1−rk)=−r(1−r)1​k=1∑6​(−r)k. 등비합 공식을 쓰면

∑k=16(−r)k=−r (1−(−r)6)1+r\sum_{k=1}^{6}(-r)^k=\frac{-r\,(1-(-r)^6)}{1+ r}k=1∑6​(−r)k=1+r−r(1−(−r)6)​ 이므로

∑k=16(−1)kSk=1−r6(1−r)(1+r)=1−r61−r2=1+r2+r4.\sum_{k=1}^{6}(-1)^k S_k =\frac{1-r^6}{(1-r)(1+r)} =\frac{1-r^6}{1-r^2} =1+r^2+r^4.k=1∑6​(−1)kSk​=(1−r)(1+r)1−r6​=1−r21−r6​=1+r2+r4. 조건이 =21=21=21이므로

1+r2+r4=21⇒r4+r2−20=0.1+r^2+r^4=21\quad\Rightarrow\quad r^4+r^2-20=0.1+r2+r4=21⇒r4+r2−20=0. y=r2y=r^2y=r2로 두면 y2+y−20=0⇒y=4y^2+y-20=0\Rightarrow y=4y2+y−20=0⇒y=4 (음수 해는 배제). 모든 항이 양수이므로 r=4=2r=\sqrt{4}=2r=4​=2. 따라서 a=12a=\dfrac{1}{2}a=21​이고

Sn=12(2n−1).S_n=\frac12(2^n-1).Sn​=21​(2n−1). 원하는 값은

S2+S7=12(22−1)+12(27−1)=12(3+127)=65.S_2+S_7=\frac12(2^2-1)+\frac12(2^7-1)=\frac12(3+127)=65.S2​+S7​=21​(22−1)+21​(27−1)=21​(3+127)=65. 정답은 656565입니다.

User: 시각 t0일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다.

시각 t=0일 때 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 시각이 t(t>=0)일 때 점 P의 속도 v(t)가 v(t)=3t^2-10t+7이다. 다음 중 옳은 것을 있는 대로 고르면?

ㄱ. 시각 t=1일 때 점 P의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 시각 t=1일 때 점 P의 위치는 3이다. ㄷ. 시각 t=0에서 t=2까지 점 P가 움직인 거리는 4이다.

Assistant: 다 옳습니다.

다 옳습니다. 즉, ㄱ, ㄴ, ㄷ.

이유를 간단히 확인하겠습니다.

1. 운동 방향 변화(ㄱ) v(t)=3t2−10t+7=3(t−1) ⁣(t−73)v(t)=3t^2-10t+7=3(t-1)\!\left(t-\frac{7}{3}\right)v(t)=3t2−10t+7=3(t−1)(t−37​). t=1t=1t=1과 t=73t=\frac{7}{3}t=37​에서 0이 되고, 계수 3>03>03>0이므로 t<1t<1t<1에서는 v>0v>0v>0, 1<t<731<t<\frac{7}{3}1<t<37​에서는 v<0v<0v<0, t>73t>\frac{7}{3}t>37​에서는 v>0v>0v>0. 따라서 t=1t=1t=1에서 부호가 +→−+\to-+→−로 바뀌어 방향이 바뀝니다.
2. 위치 t=1t=1t=1 (ㄴ) 위치 x(t)x(t)x(t)는 x(0)=0x(0)=0x(0)=0에서 출발, x(t)=∫0tv(τ) dτ=t3−5t2+7t\displaystyle x(t)=\int_0^t v(\tau)\,d\tau=t^3-5t^2+7tx(t)=∫0t​v(τ)dτ=t3−5t2+7t. x(1)=1−5+7=3\displaystyle x(1)=1-5+7=3x(1)=1−5+7=3. 맞습니다.
3. 이동 거리 t=0−2t=0-2t=0−2 (ㄷ) 0−10-10−1에서는 v>0v>0v>0, 1−21-21−2에서는 v<0v<0v<0. 거리 =∫01v dt−∫12v dt=\int_0^1 v\,dt-\int_1^2 v\,dt=∫01​vdt−∫12​vdt. ∫01v dt=x(1)−x(0)=3\int_0^1 v\,dt=x(1)-x(0)=3∫01​vdt=x(1)−x(0)=3, ∫12v dt=x(2)−x(1)=(2−3)=−1\int_1^2 v\,dt=x(2)-x(1)=(2-3)=-1∫12​vdt=x(2)−x(1)=(2−3)=−1. 따라서 거리 =3−(−1)=4=3-(-1)=4=3−(−1)=4. 옳습니다.

결론: ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참입니다.

User: 상수 aa1과 양수 t에 대하여 곡선 ya^x와 두 직선 xt, x2t가 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 점 B에서 x축에 내린 수선의 발을 C라 하자.

상수 a(a>1)과 양수 t에 대하여 곡선 y=a^x와 두 직선 x=t, x=2t가 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 점 B에서 x축에 내린 수선의 발을 C라 하자. A와 B 사이의 거리와, A와 C 사이의 거리는 같고, 삼각형 ACB의 넓이가 8일 때, at의 값은?

Assistant: 풀이를 정리하겠습니다.

풀이를 정리하겠습니다. (문맥상 마지막의 “at”는 보통 ata^tat의 오기로 많이 나오므로, 먼저 ata^tat를 구하고, 정말로 a×ta\times ta×t를 물은 경우의 값도 함께 제시하겠습니다.)

점들의 좌표는

A=(t, at),B=(2t, a2t),C=(2t, 0)A=(t,\ a^t),\quad B=(2t,\ a^{2t}),\quad C=(2t,\ 0)A=(t, at),B=(2t, a2t),C=(2t, 0) 입니다.

AB2=(2t−t)2+(a2t−at)2=t2+a2t(at−1)2,AB^2=(2t-t)^2+(a^{2t}-a^t)^2=t^2+a^{2t}(a^t-1)^2,AB2=(2t−t)2+(a2t−at)2=t2+a2t(at−1)2,

AC2=(2t−t)2+(0−at)2=t2+a2t.AC^2=(2t-t)^2+(0-a^t)^2=t^2+a^{2t}.AC2=(2t−t)2+(0−at)2=t2+a2t. AB=ACAB=ACAB=AC 이므로 두 제곱을 같게 두면

t2+a2t(at−1)2=t2+a2t ⇒ (at−1)2=1.t^2+a^{2t}(a^t-1)^2=t^2+a^{2t}\ \Rightarrow\ (a^t-1)^2=1.t2+a2t(at−1)2=t2+a2t ⇒ (at−1)2=1. a>1, t>0a>1,\ t>0a>1, t>0 이므로 at>0a^t>0at>0. 따라서 at−1=±1a^t-1=\pm1at−1=±1 중에서 at=2a^t=2at=2만 가능.

변 CBCBCB는 수직선이고 길이가 a2ta^{2t}a2t, 점 AAA에서 직선 x=2tx=2tx=2t까지의 수평거리는 ttt.

따라서

넓이=12⋅(밑변 CB)⋅(높이)=12⋅a2t⋅t=8.\text{넓이}=\frac12\cdot (\text{밑변 }CB)\cdot (\text{높이})=\frac12\cdot a^{2t}\cdot t=8.넓이=21​⋅(밑변 CB)⋅(높이)=21​⋅a2t⋅t=8. 위에서 at=2a^t=2at=2이므로 a2t=4a^{2t}=4a2t=4. 따라서

12⋅4⋅t=8 ⇒ t=4.\frac12\cdot 4\cdot t=8 \ \Rightarrow\ t=4.21​⋅4⋅t=8 ⇒ t=4. 그러면 a=21/4a=2^{1/4}a=21/4.

- 보통 의도된 물음인 ata^tat 의 값은

at=2.\boxed{a^t=2}.at=2​.

• 만약 정말로 a×ta\times ta×t 를 묻는 것이라면

at=4⋅21/4.\boxed{a t=4\cdot 2^{1/4}}.at=4⋅21/4​.

User: 함수 fxx^2+6x+12에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 k의 개수는?

함수 f(x)=x^2+6x+12에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 k의 개수는?

조건: 모든 실수 a에 대하여, lim (x->a) x^2/[(f(x))^2-k(x+2)f(x)]의 값이 존재한다.

Assistant: 해결의 핵심은 분모를 인수분해하는 것입니다.

해결의 핵심은 분모를 인수분해하는 것입니다.

f(x)=x2+6x+12=(x+3)2+3>0f(x)=x^2+6x+12=(x+3)^2+3>0f(x)=x2+6x+12=(x+3)2+3>0 이므로,

(f(x))2−k(x+2)f(x)=f(x)(f(x)−k(x+2))(f(x))^2-k(x+2)f(x)=f(x)\big(f(x)-k(x+2)\big)(f(x))2−k(x+2)f(x)=f(x)(f(x)−k(x+2)) 이고, 분모가 0이 되는 일은 f(x)−k(x+2)=0f(x)-k(x+2)=0f(x)−k(x+2)=0일 때뿐입니다. 이를

gk(x):=x2+(6−k)x+(12−2k)=0g_k(x):=x^2+(6-k)x+(12-2k)=0gk​(x):=x2+(6−k)x+(12−2k)=0 이라 두겠습니다.

모든 실수 aaa에서 극한 lim⁡x→ax2f(x) gk(x)\displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^2}{f(x)\,g_k(x)}x→alim​f(x)gk​(x)x2​ 이 존재하려면,

• a≠0a\neq 0a=0에서는 분모가 0이 되면 안 됩니다(분자는 x2x^2x2라 a≠0a\neq 0a=0에서 0이 아니므로 발산).
• a=0a=0a=0에서는 분모가 0이 되더라도, 그 소거 차수가 2 이하이면 극한이 유한하게 존재할 수 있습니다.

따라서 허용되는 경우는

1. gk(x)g_k(x)gk​(x)가 실근이 전혀 없을 때, 혹은
2. gk(x)g_k(x)gk​(x)의 유일한 실근이 x=0x=0x=0이고, 그 근의 차수가 2인 경우입니다.

이제 판별식을 보겠습니다.

Δ=(6−k)2−4(12−2k)=k2−4k−12.\Delta=(6-k)^2-4(12-2k)=k^2-4k-12.Δ=(6−k)2−4(12−2k)=k2−4k−12. Δ<0\Delta<0Δ<0이면 실근이 없으므로 허용됩니다. Δ<0  ⟺  −2<k<6\Delta<0\iff -2<k<6Δ<0⟺−2<k<6 이고, 정수 kkk는 {−1,0,1,2,3,4,5}\{-1,0,1,2,3,4,5\}{−1,0,1,2,3,4,5}.

경계값을 점검합니다.

• k=6k=6k=6: g6(x)=x2g_6(x)=x^2g6​(x)=x2. 분모는 f(x) x2f(x)\,x^2f(x)x2가 되어 x=0x=0x=0에서 분자 x2x^2x2와 정확히 소거되고, lim⁡x→0x2f(x)x2=1f(0)=112\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{f(x)x^2}=\frac1{f(0)}=\frac1{12}x→0lim​f(x)x2x2​=f(0)1​=121​. 다른 a≠0a\neq 0a=0에서는 분모 ≠0\neq 0=0. ⇒ 허용.
• k=−2k=-2k=−2: g−2(x)=x2+8x+16=(x+4)2g_{-2}(x)=x^2+8x+16=(x+4)^2g−2​(x)=x2+8x+16=(x+4)2. x=−4x=-4x=−4에서 분모가 0이지만 분자는 16이므로 발산. ⇒ 불허.

따라서 조건을 만족하는 정수 kkk는

k∈{−1,0,1,2,3,4,5,6},k\in\{-1,0,1,2,3,4,5,6\},k∈{−1,0,1,2,3,4,5,6}, 총 8개입니다.

정답: 8.

User: 양수 k에 대하여 집합 {x|0<x<3kpi/2, x is not kpi/2}에서 정의된 함수 fxtanx/k가 있다.

양수 k에 대하여 집합 {x|0<=x<3kpi/2, x is not kpi/2}에서 정의된 함수 f(x)=tan(x/k)가 있다. 점 P(0, p) (p>0)을 지나며 x축에 평행한 직선이 함수 y=f(x)의 그래프와 만나는 두 점을 A, B(PA<PB. B가 점 P보다 멀리 있다는 뜻)라 하고, 직선 y=-p가 함수 y=f(x)의 그래프와 만나는 점을 C라 하자. A와 B 사이의 거리는 P와 A 사이의 거리의 3배이며, 삼각형 OCB의 넓이가 5pi/3일 때, k+p의 값은?

Assistant: 해설의 요점은 교점의 xxx-좌표를 tan⁡\tantan의 일반해로 적어놓고, 조건을 순서대로 쓰는 것입니다.

해설의 요점은 교점의 xxx-좌표를 tan⁡\tantan의 일반해로 적어놓고, 조건을 순서대로 쓰는 것입니다.

• y=tan⁡ ⁣(xk)y=\tan\!\left(\frac{x}{k}\right)y=tan(kx​)와 y=p (>0)y=p\,(>0)y=p(>0)의 교점들을 A,BA,BA,B라 하면 xk=arctan⁡p+πn(n∈Z)\frac{x}{k}=\arctan p+\pi n\quad(n\in\mathbb{Z})kx​=arctanp+πn(n∈Z) 이고, 주어진 정의역 0≤x<3kπ20\le x<\frac{3k\pi}{2}0≤x<23kπ​에서 AAA는 xA=kθ,θ:=arctan⁡p∈(0,π2),x_A=k\theta,\quad \theta:=\arctan p\in(0,\tfrac{\pi}{2}),xA​=kθ,θ:=arctanp∈(0,2π​), BBB는 xB=k(θ+π)x_B=k(\theta+\pi)xB​=k(θ+π) 입니다. 따라서 AB=xB−xA=kπ,PA=xA=kθ.AB=x_B-x_A=k\pi,\qquad PA=x_A=k\theta.AB=xB​−xA​=kπ,PA=xA​=kθ. 조건 AB=3 PAAB=3\,PAAB=3PA로부터 kπ=3kθ ⇒ θ=π3 ⇒ p=tan⁡θ=3.k\pi=3k\theta\ \Rightarrow\ \theta=\frac{\pi}{3}\ \Rightarrow\ p=\tan\theta=\sqrt{3}.kπ=3kθ ⇒ θ=3π​ ⇒ p=tanθ=3​.
• 이제 y=−p=−3y=-p=-\sqrt{3}y=−p=−3​과의 교점 CCC는 xk=−θ+πn,θ=π3.\frac{x}{k}=-\theta+\pi n,\quad \theta=\frac{\pi}{3}.kx​=−θ+πn,θ=3π​. 정의역에서 유효한 것은 u=xk=2π/3u=\frac{x}{k}=2\pi/3u=kx​=2π/3 하나이므로 xC=2kπ3.x_C=\frac{2k\pi}{3}.xC​=32kπ​.
• 삼각형 OCBOCBOCB의 넓이는 (원점 O=(0,0)O=(0,0)O=(0,0)) Area=12∣xC⋅yB−yC⋅xB∣=12(2kπ3⋅3−(−3)⋅4kπ3)=kπ3.\text{Area}=\frac12\left|x_C\cdot y_B-y_C\cdot x_B\right| =\frac12\left(\frac{2k\pi}{3}\cdot \sqrt{3}-(-\sqrt{3})\cdot \frac{4k\pi}{3}\right) =k\pi\sqrt{3}.Area=21​∣xC​⋅yB​−yC​⋅xB​∣=21​(32kπ​⋅3​−(−3​)⋅34kπ​)=kπ3​. 넓이가 5π/35\pi/35π/3이므로 kπ3=5π3 ⇒ k=533.k\pi\sqrt{3}=\frac{5\pi}{3}\ \Rightarrow\ k=\frac{5}{3\sqrt{3}}.kπ3​=35π​ ⇒ k=33​5​.

따라서

k+p=533+3=1439.k+p=\frac{5}{3\sqrt{3}}+\sqrt{3} =\frac{14\sqrt{3}}{9}.k+p=33​5​+3​=9143​​. 정답: 1439\displaystyle \frac{14\sqrt{3}}{9}9143​​.

User: 최고차항의 계수가 양수이고 f00인 삼차함수 fx에 대하여 함수 gxintegral 0x, |ft|-|t|dt가 다음 조건을 만족시킨다.

최고차항의 계수가 양수이고 f(0)=0인 삼차함수 f(x)에 대하여 함수 g(x)=integral 0~x, (|f(t)|-|t|)dt가 다음 조건을 만족시킨다. (integral에서 0이 아래로, x가 위로 가는 형태)

(가) 방정식 g'(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 4이다. (나) 함수 g(x)는 x=2, x=6에서 극값을 갖는다.

f(6)곱하기g(2)<0일 때, f(8)의 값은?

Assistant: 정답: f840f840f840

정답: f(8)=40f(8)=40f(8)=40

설명은 핵심만 짚겠습니다.

1. g′(x)=∣f(x)∣−∣x∣g'(x)=|f(x)|-|x|g′(x)=∣f(x)∣−∣x∣ 이므로, 방정식 g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0의 해는 곧

∣f(x)∣=∣x∣    ⟺    f(x)=x   또는   f(x)=−x|f(x)|= |x| \;\;\Longleftrightarrow\;\; f(x)=x \;\text{ 또는 }\; f(x)=-x∣f(x)∣=∣x∣⟺f(x)=x 또는 f(x)=−x 의 해들의 합집합입니다. 또한 f(0)=0f(0)=0f(0)=0이므로 x=0x=0x=0은 항상 해입니다.

1. (나)에서 x=2,6x=2,6x=2,6이 ggg의 극값점이므로 g′(2)=g′(6)=0g'(2)=g'(6)=0g′(2)=g′(6)=0, 즉 ∣f(2)∣=2, ∣f(6)∣=6|f(2)|=2,\ |f(6)|=6∣f(2)∣=2, ∣f(6)∣=6. 또한 (가)에서 서로 다른 실근이 정확히 4개이므로, 전체 해는 {0,2,6,또 하나}\{0,2,6,\text{또 하나}\}{0,2,6,또 하나}이어야 합니다.
2. 조건 f(6) g(2)<0f(6)\,g(2)<0f(6)g(2)<0을 만족시키려면, g(2)=∫02(∣f∣−t) dtg(2)=\int_0^2(|f|-t)\,dtg(2)=∫02​(∣f∣−t)dt의 부호와 f(6)f(6)f(6)의 부호가 반대여야 합니다. 해를 한 번에 만들 수 있는 표준적 구성은 다음과 같습니다:

 f(x)−x=14 x2(x−6) , f(x)+x=14 x(x−2)(x−4) .\boxed{\,f(x)-x=\tfrac14\,x^2(x-6)\,},\qquad \boxed{\,f(x)+x=\tfrac14\,x(x-2)(x-4)\,}.f(x)−x=41​x2(x−6)​,f(x)+x=41​x(x−2)(x−4)​. 이 두 식의 차는 항상 2x2x2x가 되어 항등식이 맞고, 따라서 한 다항식 fff가 동시에 만족합니다. 여기서 g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0의 해는 x=0,2,4,6x=0,2,4,6x=0,2,4,6으로 정확히 4개이고, 특히

f(6)−6=14⋅62⋅0=0⇒f(6)=6>0,g(2)=∫02(∣f∣−t) dt<0f(6)-6=\tfrac14\cdot6^2\cdot0=0\Rightarrow f(6)=6>0,\qquad g(2)=\int_0^2(|f|-t)\,dt<0f(6)−6=41​⋅62⋅0=0⇒f(6)=6>0,g(2)=∫02​(∣f∣−t)dt<0 가 되어 f(6) g(2)<0f(6)\,g(2)<0f(6)g(2)<0도 충족됩니다(부호 변화는 구간별로 fff가 y=±xy=\pm xy=±x와 만드는 상대적 위치에서 바로 확인됩니다).

1. 위 표현에서 fff를 전개하면

f(x)=x+14x2(x−6)=14x3−32x2+x.f(x)=x+\tfrac14x^2(x-6)=\tfrac14x^3-\tfrac32x^2+x.f(x)=x+41​x2(x−6)=41​x3−23​x2+x. 따라서

f(8)=14⋅83−32⋅82+8=128−96+8=40.f(8)=\tfrac14\cdot8^3-\tfrac32\cdot8^2+8 =128-96+8=40.f(8)=41​⋅83−23​⋅82+8=128−96+8=40. 따라서 요구하는 값은 40\boxed{40}40​입니다.

User: \documentclassa4paper,12pt{article}

\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{kotex} % 한국어 사용 시

\begin{document}

\paragraph{20.} 그림과 같이 사각형 \(ABCD\)가 한 원에 내접하고 \(\overline{AB}:\overline{CD}=1:3,\ \overline{BC}<\overline{AD}\)일 때, 직선 \(AB\)와 직선 \(CD\)가 만나는 점을 \(P\)라 하자.

\medskip 다음은 \(\overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}\)이고 \(\overline{AD}=4\sqrt{13}\)일 때, 삼각형 \(BPC\)의 외접원의 반지름의 길이를 구하는 과정이다.

\medskip \[ \angle BPC=\theta \text{라 할 때, } \overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}\ \text{이므로} \] 삼각형 \(BPC\)에서 코사인법칙에 의하여 \[ \cos\theta=\frac{6}{7}\,. \]

\[ \overline{PB}:\overline{PC}=7:5 \text{에서 } \overline{PB}=7k,\ \overline{PC}=5k,\qquad \overline{AB}:\overline{CD}=1:3 \text{에서 } \overline{AB}=\ell,\ \overline{CD}=3\ell \text{이라 하자.} \]

원의 성질에 의하여 삼각형 \(BPC\)와 삼각형 \(DPA\)가 서로 닮음이므로 \[ \overline{PB}:\overline{PC}=\overline{PD}:\overline{PA} \quad \text{이고},\qquad \ell=\boxed{(\text{가})}\,k \text{이다.} \]

삼각형 \(BPC\)와 삼각형 \(DPA\)의 닮음비가 \(1:\boxed{(\text{나})}\)이므로 \[ \overline{BC}=\frac{1}{\boxed{(\text{나})}}\times \overline{AD}\ \text{이다.} \]

따라서 삼각형 \(BPC\)의 외접원의 반지름의 길이를 \(R\)이라 할 때, 삼각형 \(BPC\)에서 사인법칙에 의하여 \[ R=\boxed{(\text{다})}\ \text{이다.} \]

\medskip 위의 \((\text{가}),(\text{나}),(\text{다})\)에 알맞은 수를 각각 \(p,q,r\)이라 할 때, \(p+q+r\)의 값을 구하시오. \([4\text{점}]\)

\end{document}

Assistant: 다음과 같이 두겠습니다.

다음과 같이 두겠습니다.

• PB‾:PC‾:BC‾=7:5:14\overline{PB}:\overline{PC}:\overline{BC}=7:5:\sqrt{14}PB:PC:BC=7:5:14​ 이므로  PB=7k, PC=5k, BC=14 k\ PB=7k,\ PC=5k,\ BC=\sqrt{14}\,k PB=7k, PC=5k, BC=14​k.
• △BPC\triangle BPC△BPC에서 ∠BPC=θ\angle BPC=\theta∠BPC=θ라 하면 cos⁡θ=PB2+PC2−BC22⋅PB⋅PC=49+25−142⋅7⋅5=67.\cos\theta=\frac{PB^{2}+PC^{2}-BC^{2}}{2\cdot PB\cdot PC} =\frac{49+25-14}{2\cdot 7\cdot 5}=\frac67.cosθ=2⋅PB⋅PCPB2+PC2−BC2​=2⋅7⋅549+25−14​=76​. 따라서 sin⁡θ=1−(67)2=137\sin\theta=\sqrt{1-\big(\tfrac67\big)^2}=\tfrac{\sqrt{13}}{7}sinθ=1−(76​)2​=713​​.
• 원 밖의 교점 PPP에 대한 표준 성질로 △BPC∼△DPA\triangle BPC\sim \triangle DPA△BPC∼△DPA. 따라서 어떤 s>1s>1s>1에 대하여 PD=s PB,PA=s PC,AD=s BC.PD=s\,PB,\quad PA=s\,PC,\quad AD=s\,BC.PD=sPB,PA=sPC,AD=sBC. 한편 AB=∣PA−PB∣=∣5s−7∣ k,CD=∣PD−PC∣=∣7s−5∣ kAB=\lvert PA-PB\rvert=\lvert5s-7\rvert\,k,\quad CD=\lvert PD-PC\rvert=\lvert7s-5\rvert\,kAB=∣PA−PB∣=∣5s−7∣k,CD=∣PD−PC∣=∣7s−5∣k. 주어진 AB:CD=1:3AB:CD=1:3AB:CD=1:3에서 ∣5s−7∣∣7s−5∣=13\frac{\lvert5s-7\rvert}{\lvert7s-5\rvert}=\frac13∣7s−5∣∣5s−7∣​=31​ 를 풀면 s=2s=2s=2 (또는 13/1113/1113/11)가 나오며, BC<ADBC<ADBC<AD 및 도형의 배치에 부합하는 해는 s=2s=2s=2입니다.
• 그러면 AD=413=s BC=2⋅BCAD=4\sqrt{13}=s\,BC=2\cdot BCAD=413​=sBC=2⋅BC이므로 BC=213BC=2\sqrt{13}BC=213​. 처음의 BC=14 kBC=\sqrt{14}\,kBC=14​k와 맞추면 k=21314k=\dfrac{2\sqrt{13}}{\sqrt{14}}k=14​213​​.

이제 물음의 세 칸을 채우면,

1. ℓ=AB=∣5s−7∣ k=∣10−7∣ k=3k\ell=AB=\lvert5s-7\rvert\,k=|10-7|\,k=3kℓ=AB=∣5s−7∣k=∣10−7∣k=3k 이므로 (가)=3(\text{가})=3(가)=3.
2. 닮음비는 1:s=1:21:s=1:21:s=1:2이므로 (나)=2(\text{나})=2(나)=2.
3. △BPC\triangle BPC△BPC에서 사인법칙으로 R=BC2sin⁡θ=14 k2⋅(13/7)=714 k213=7⋅213213=7,R=\frac{BC}{2\sin\theta} =\frac{\sqrt{14}\,k}{2\cdot(\sqrt{13}/7)} =\frac{7\sqrt{14}\,k}{2\sqrt{13}} =\frac{7\cdot 2\sqrt{13}}{2\sqrt{13}}=7,R=2sinθBC​=2⋅(13​/7)14​k​=213​714​k​=213​7⋅213​​=7, 따라서 (다)=7(\text{다})=7(다)=7.

따라서 p+q+r=3+2+7=12p+q+r=3+2+7=12p+q+r=3+2+7=12입니다.

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\begin{document}

\paragraph{21.} 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(f'(10)\)의 값을 구하시요. \([4\text{점}]\)

\medskip \noindent 0이 아닌 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[ \boxed{\ \frac{f'(x)}{2}+x^{2}-2 \ \le\ \frac{f(2x)-f(0)}{2x}\ \le\ x^{4}\ } \] 이다.

\end{document}

Assistant: 정답: 296\boxed{296}296​

정답: 296\boxed{296}296​

풀이를 간단명료하게 보이겠습니다.

먼저 f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+cf(x)=x3+ax2+bx+c (최고차항 계수 1)(\text{최고차항 계수 }1)(최고차항 계수 1)라 두면

f(2x)−f(0)2x=8x3+4ax2+2bx2x=4x2+2ax+b.\frac{f(2x)-f(0)}{2x} =\frac{8x^{3}+4ax^{2}+2bx}{2x} =4x^{2}+2ax+b.2xf(2x)−f(0)​=2x8x3+4ax2+2bx​=4x2+2ax+b. 또한 f′(x)=3x2+2ax+bf'(x)=3x^{2}+2ax+bf′(x)=3x2+2ax+b입니다. 주어진 부등식은 모든 x≠0x\neq 0x=0에 대해

f′(x)2+x2−2 ≤ 4x2+2ax+b ≤ x4.(1)\frac{f'(x)}{2}+x^{2}-2\ \le\ 4x^{2}+2ax+b\ \le\ x^{4}. \tag{1}2f′(x)​+x2−2 ≤ 4x2+2ax+b ≤ x4.(1)

오른쪽은

x4−(4x2+2ax+b) ≥ 0(∀x≠0)x^{4}-\bigl(4x^{2}+2ax+b\bigr)\ \ge\ 0\qquad(\forall x\ne0)x4−(4x2+2ax+b) ≥ 0(∀x=0) 입니다. 좌우에 xxx 대신 −x-x−x를 대입한 식을 더하면

2(x4−4x2−b) ≥ 0⇒x4−4x2−b≥0 (∀x).2\bigl(x^{4}-4x^{2}-b\bigr)\ \ge\ 0\quad\Rightarrow\quad x^{4}-4x^{2}-b\ge 0\ (\forall x).2(x4−4x2−b) ≥ 0⇒x4−4x2−b≥0 (∀x). 좌변의 최소값은 x2=2x^{2}=2x2=2에서 −4-4−4이므로

 b≤−4 .(2)\boxed{\,b\le -4\,}. \tag{2}b≤−4​.(2)

왼쪽은

(4x2+2ax+b)−(3x2+2ax+b2)−x2+2=32x2+ax+(b2+2) ≥ 0 (∀x).\Bigl(4x^{2}+2ax+b\Bigr)-\Bigl(\tfrac{3x^{2}+2ax+b}{2}\Bigr)-x^{2}+2 =\tfrac{3}{2}x^{2}+ax+\Bigl(\tfrac{b}{2}+2\Bigr)\ \ge\ 0\ (\forall x).(4x2+2ax+b)−(23x2+2ax+b​)−x2+2=23​x2+ax+(2b​+2) ≥ 0 (∀x). 이는 이차식이 전 구간에서 ≥0\ge0≥0이므로 판별식이 음수 이하:

 a2≤3b+12 .(3)\boxed{\,a^{2}\le 3b+12\,}. \tag{3}a2≤3b+12​.(3) 그런데 (2)로부터 b≤−4b\le -4b≤−4이므로 3b+12≤03b+12\le 03b+12≤0. 따라서 (3)은

a2≤0⇒ a=0 , b=−4 .a^{2}\le 0\quad\Rightarrow\quad \boxed{\,a=0\,},\qquad \boxed{\,b=-4\,}.a2≤0⇒a=0​,b=−4​. (검산) 이때

f(2x)−f(0)2x=4x2−4,f′(x)2+x2−2=3x2−42+x2−2=32x2≥0,\frac{f(2x)-f(0)}{2x}=4x^{2}-4,\quad \frac{f'(x)}{2}+x^{2}-2=\frac{3x^{2}-4}{2}+x^{2}-2=\frac{3}{2}x^{2}\ge0,2xf(2x)−f(0)​=4x2−4,2f′(x)​+x2−2=23x2−4​+x2−2=23​x2≥0, 또

x4−(4x2−4)=(x2−2)2≥0x^{4}-\bigl(4x^{2}-4\bigr)=(x^{2}-2)^{2}\ge0x4−(4x2−4)=(x2−2)2≥0 이 되어 조건이 모두 만족됩니다.

f′(x)=3x2−4f'(x)=3x^{2}-4f′(x)=3x2−4이므로

f′(10)=3⋅102−4=300−4=296.f'(10)=3\cdot 10^{2}-4=300-4=\boxed{296}.f′(10)=3⋅102−4=300−4=296​.

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\begin{document}

\paragraph{22.} 곡선 \(y=\log_{2}x\) 위에 서로 다른 두 점 \(A, B\)가 있다. 점 \(A\)에서 직선 \(y=x\)에 내린 수선의 발을 \(P\)라 하고, 점 \(B\)를 직선 \(y=x\)에 대하여 대칭이동한 점을 \(Q\)라 할 때, 네 점 \(A,B,P,Q\)가 다음 조건을 만족시킨다.

\medskip (가) \((\text{직선 } AP \text{의 } y\text{절편})-(\text{직선 } BQ \text{의 } y\text{절편})=\dfrac{13}{2}\).

(나) 직선 \(AB\)의 기울기는 \(\dfrac{6}{7}\)이다.

\medskip 사각형 \(APQB\)의 넓이가 \(\dfrac{p}{q}\)일 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. \((\text{단, } p \text{와 } q \text{는 서로소인 자연수이다.})\) \([4\text{점}]\)

\end{document}

Assistant: 정답: 73\boxed{73}73​

정답: 73\boxed{73}73​

설명드립니다.

점 A=(a,log⁡2a)A=(a,\log_{2}a)A=(a,log2​a), B=(b,log⁡2b)B=(b,\log_{2}b)B=(b,log2​b)라 두면, 기울기 −1-1−1인 직선의 yyy-절편은 x+yx+yx+y이므로

• 직선 APAPAP의 yyy-절편은 a+log⁡2aa+\log_{2}aa+log2​a,
• 직선 BQBQBQ의 yyy-절편은 b+log⁡2bb+\log_{2}bb+log2​b입니다.

따라서 (가)에서

(a+log⁡2a)−(b+log⁡2b)=132.(1)(a+\log_{2}a)-(b+\log_{2}b)=\frac{13}{2}. \tag{1}(a+log2​a)−(b+log2​b)=213​.(1) 또한 (나)에서

log⁡2b−log⁡2a b−a =67.(2)\frac{\log_{2}b-\log_{2}a}{\,b-a\,}=\frac{6}{7}. \tag{2}b−alog2​b−log2​a​=76​.(2) 여기서 u(x)=x+log⁡2x, v(x)=x−log⁡2xu(x)=x+\log_{2}x,\ v(x)=x-\log_{2}xu(x)=x+log2​x, v(x)=x−log2​x를 두면

u(a)−u(b)=(a−b)+(log⁡2a−log⁡2b).u(a)-u(b)=(a-b)+(\log_{2}a-\log_{2}b).u(a)−u(b)=(a−b)+(log2​a−log2​b). (1), (2)를 함께 쓰면

u(a)−u(b)=132=−(b−a)−(log⁡2b−log⁡2a)=−(b−a)(1+67)=−137(b−a).u(a)-u(b)=\frac{13}{2} =-(b-a)-\bigl(\log_{2}b-\log_{2}a\bigr) =-(b-a)\Bigl(1+\frac{6}{7}\Bigr) =-\frac{13}{7}(b-a).u(a)−u(b)=213​=−(b−a)−(log2​b−log2​a)=−(b−a)(1+76​)=−713​(b−a). 따라서 b−a=−72b-a=-\frac{7}{2}b−a=−27​.

다시 (2)에 대입하면

log⁡2b−log⁡2a=67(b−a)=−3  ⇒  ba=2−3=18.\log_{2}b-\log_{2}a=\frac{6}{7}(b-a)=-3 \;\Rightarrow\; \frac{b}{a}=2^{-3}=\frac{1}{8}.log2​b−log2​a=76​(b−a)=−3⇒ab​=2−3=81​. 즉 b=a8b=\frac{a}{8}b=8a​이므로 a8−a=−72⇒a=4, b=12 \frac{a}{8}-a=-\frac{7}{2}\Rightarrow a=4,\ b=\frac128a​−a=−27​⇒a=4, b=21​.

이제 사각형 APQBAPQBAPQB의 넓이를 구합니다. 기울기 −1-1−1인 두 평행선 AP, BQAP,\ BQAP, BQ 사이의 거리(사다리꼴의 높이)는

∣(a+log⁡2a)−(b+log⁡2b)∣2=13/22=1322.\frac{|(a+\log_{2}a)-(b+\log_{2}b)|}{\sqrt2}=\frac{13/2}{\sqrt2}=\frac{13}{2\sqrt2}.2​∣(a+log2​a)−(b+log2​b)∣​=2​13/2​=22​13​. 밑변 길이들은

AP=∣a−log⁡2a∣2=4−22=22=2,BQ=2 ∣b−log⁡2b∣=2(12−(−1))=322.AP=\frac{|a-\log_{2}a|}{\sqrt2}=\frac{4-2}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2,\qquad BQ=\sqrt2\,|b-\log_{2}b|=\sqrt2\Bigl(\tfrac12-(-1)\Bigr)=\frac{3\sqrt2}{2}.AP=2​∣a−log2​a∣​=2​4−2​=2​2​=2​,BQ=2​∣b−log2​b∣=2​(21​−(−1))=232​​. 사다리꼴 넓이

Area=AP+BQ2×높이=2+3222⋅1322=52/22⋅1322=658.\text{Area} =\frac{AP+BQ}{2}\times \text{높이} =\frac{\sqrt2+\tfrac{3\sqrt2}{2}}{2}\cdot \frac{13}{2\sqrt2} =\frac{5\sqrt2/2}{2}\cdot \frac{13}{2\sqrt2} =\frac{65}{8}.Area=2AP+BQ​×높이=22​+232​​​⋅22​13​=252​/2​⋅22​13​=865​. 따라서 pq=658\dfrac{p}{q}=\dfrac{65}{8}qp​=865​ 이고 p+q=65+8=73p+q=65+8= \boxed{73}p+q=65+8=73​입니다.

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\begin{document}

\paragraph{28.} 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 전체에서 미분가능한 함수 \(g(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[ f(x)=g(x)-\tan g(x) \] 이고 다음 조건을 만족시킬 때, \(g'(0)\times\bigl(g(0)\bigr)^{2}\)의 값은? \([4\text{점}]\)

\medskip (가) \(f(0)=0,\quad f(\pi)=0\).

(나) \(\sin g(\pi)=0,\quad \displaystyle\lim_{x\to\infty} g(x)=\frac{3\pi}{2}\).

\medskip \noindent 보기: (1) \(-12\)\quad (2) \(-6\)\quad (3) \(-1\)\quad (4) \(3\)\quad (5) \(9\).

\end{document}

Assistant: 정답: −6\boxed{-6}−6​

정답: −6\boxed{-6}−6​

설명은 핵심만 정리하겠습니다.

1. 관계식과 도함수

f(x)=g(x)−tan⁡g(x)⟹f′(x)=g′(x)−sec⁡2 ⁣g(x) g′(x)=−g′(x)tan⁡2 ⁣g(x).(1)f(x)=g(x)-\tan g(x)\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=g'(x)-\sec^{2}\!g(x)\,g'(x)=-g'(x)\tan^{2}\!g(x). \tag{1}f(x)=g(x)−tang(x)⟹f′(x)=g′(x)−sec2g(x)g′(x)=−g′(x)tan2g(x).(1)

1. x=0x=0x=0에서 조건 f(0)=0f(0)=0f(0)=0이므로 g(0)−tan⁡g(0)=0⇒tan⁡g(0)=g(0)g(0)-\tan g(0)=0\Rightarrow \tan g(0)=g(0)g(0)−tang(0)=0⇒tang(0)=g(0). (1)을 x=0x=0x=0에 대입하면

f′(0)=−g′(0)tan⁡2g(0)=−g′(0) g(0)2⟹g′(0) g(0)2=− f′(0).(2)f'(0)=-g'(0)\tan^{2}g(0)=-g'(0)\,g(0)^{2} \quad\Longrightarrow\quad g'(0)\,g(0)^{2}=-\,f'(0). \tag{2}f′(0)=−g′(0)tan2g(0)=−g′(0)g(0)2⟹g′(0)g(0)2=−f′(0).(2) 따라서 물음값은 −f′(0)-f'(0)−f′(0)만 구하면 됩니다.

1. x=πx=\pix=π에서의 조건으로 fff의 계수 결정 fff는 삼차다항식이므로 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d. (가) f′′(π)=0⇒6aπ+2b=0⇒b=−3aπf(\pi)=0\Rightarrow 6a\pi+2b=0\Rightarrow b=-3a\pif′′(π)=0⇒6aπ+2b=0⇒b=−3aπ. (나) sin⁡g(π)=0⇒g(π)=nπ (n∈Z)\sin g(\pi)=0\Rightarrow g(\pi)=n\pi\ (n\in\mathbb{Z})sing(π)=0⇒g(π)=nπ (n∈Z). 이때 tan⁡g(π)=0\tan g(\pi)=0tang(π)=0이므로

f(π)=g(π)−tan⁡g(π)=nπ.f(\pi)=g(\pi)-\tan g(\pi)=n\pi.f(π)=g(π)−tang(π)=nπ. 또한 (1)로부터 f′(π)=−g′(π)tan⁡2g(π)=0f'(\pi)=-g'(\pi)\tan^{2}g(\pi)=0f′(π)=−g′(π)tan2g(π)=0이므로

f′(π)=3aπ2+2bπ+c=0⇒c=3aπ2.f'(\pi)=3a\pi^{2}+2b\pi+c=0\Rightarrow c=3a\pi^{2}.f′(π)=3aπ2+2bπ+c=0⇒c=3aπ2. 따라서

f(π)=aπ3+bπ2+cπ=aπ3−3aπ3+3aπ3=aπ3=nπ⇒a=nπ2.f(\pi)=a\pi^{3}+b\pi^{2}+c\pi =a\pi^{3}-3a\pi^{3}+3a\pi^{3}=a\pi^{3}=n\pi \Rightarrow a=\frac{n}{\pi^{2}}.f(π)=aπ3+bπ2+cπ=aπ3−3aπ3+3aπ3=aπ3=nπ⇒a=π2n​.

1. lim⁡x→∞g(x)=3π2\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{3\pi}{2}x→∞lim​g(x)=23π​로부터 nnn 결정 함수 h(u)=u−tan⁡uh(u)=u-\tan uh(u)=u−tanu는 각 구간 (π2+kπ, 3π2+kπ)(\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+k\pi)(2π​+kπ, 23π​+kπ)에서 단조감소로 R\mathbb{R}R에 대한 전단사입니다. lim⁡x→∞g(x)=3π2\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{3\pi}{2}limx→∞​g(x)=23π​이 성립하려면 xxx가 커질수록 g(x)g(x)g(x)가 구간 (3π2, 5π2)(\frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2})(23π​, 25π​) 쪽에서 3π2\frac{3\pi}{2}23π​로 접근해야 하고, 이때 f(x)=g(x)−tan⁡g(x)f(x)=g(x)-\tan g(x)f(x)=g(x)−tang(x)는 x→∞x\to\inftyx→∞에서 +∞+\infty+∞로 가야 합니다. 따라서 fff의 최고차계수 a>0a>0a>0, 곧 n>0n>0n>0. 또 x=πx=\pix=π에서 g(π)=nπg(\pi)=n\pig(π)=nπ가 위 구간 (3π2, 5π2)(\frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2})(23π​, 25π​) 안에 있어야 하므로 가능한 정수는 n=2n=2n=2뿐입니다. 결론적으로 a=2π2a=\dfrac{2}{\pi^{2}}a=π22​, c=3aπ2=6c=3a\pi^{2}=6c=3aπ2=6.
2. 마무리 f′(0)=c=6f'(0)=c=6f′(0)=c=6. (2)에 의해

g′(0) g(0)2=−f′(0)=−6.g'(0)\,g(0)^{2}=-f'(0)=-6.g′(0)g(0)2=−f′(0)=−6. 보기와 일치: −6\boxed{-6}−6​ (선지 2).

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\begin{document}

\paragraph{29.} 첫째항이 양수이고 공비가 유리수인 등비수열 \(\{a_n\}\)에 대하여 급수 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하고, 수열 \(\{a_n\}\)이 다음 조건을 만족시킨다.

\medskip (가) \(a_1+a_2<10\).

(나) 수열 \(\{a_n\}\)의 정수인 항의 개수는 3이고, 이 세 항의 곱은 \(216\)이다.

\medskip \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\dfrac{q}{p}\)일 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. \((\text{단, } p \text{와 } q \text{는 서로소인 자연수이다.})\) \([4\text{점}]\)

\end{document}

Assistant: 정답: 91\boxed{91}91​

정답: 91\boxed{91}91​

풀이의 핵심은 “정수 항이 정확히 3개”라는 조건을 등비수열의 분모 소거 조건으로 해석하는 것입니다.

등비수열을 an=a1r n−1a_n=a_1 r^{\,n-1}an​=a1​rn−1라 두고, 공비를 기약분수 r=uvr=\dfrac{u}{v}r=vu​ (u,v∈Z, gcd⁡(u,v)=1)(u,v\in\mathbb Z,\ \gcd(u,v)=1)(u,v∈Z, gcd(u,v)=1)로 씁니다. 수렴하므로 ∣r∣<1|r|<1∣r∣<1, 첫째항 a1>0a_1>0a1​>0입니다.

1) 정수 항이 정확히 3개

⇒ ⇒ 서로 연속한 3개

어떤 kkk에서 aka_kak​가 정수라고 합시다. 그 다음 항 ak+1=ak⋅uva_{k+1}=a_k\cdot \dfrac{u}{v}ak+1​=ak​⋅vu​가 정수이려면 v∣akv\mid a_kv∣ak​, 다시 ak+2=ak⋅u2v2a_{k+2}=a_k\cdot\dfrac{u^2}{v^2}ak+2​=ak​⋅v2u2​가 정수이려면 v2∣akv^2\mid a_kv2∣ak​가 필요합니다. 그리고 정수 항이 더 이상 생기지 않으려면 v3∤akv^3\nmid a_kv3∤ak​여야 합니다. 따라서 정수 항은 바로 ak,ak+1,ak+2a_k, a_{k+1}, a_{k+2}ak​,ak+1​,ak+2​ 연속 3개뿐입니다. 이때

ak=Nv2(N∈Z∖{0}),ak+1=Nvu,ak+2=Nu2.a_k=Nv^2\quad(N\in\mathbb Z\setminus\{0\}),\quad a_{k+1} = Nvu,\quad a_{k+2}=Nu^2.ak​=Nv2(N∈Z∖{0}),ak+1​=Nvu,ak+2​=Nu2. 세 정수 항의 곱은

akak+1ak+2=N3 v3u3.a_k a_{k+1} a_{k+2}=N^3\,v^3u^3.ak​ak+1​ak+2​=N3v3u3. 문제에서 그 곱이 216=63216=6^3216=63이므로

∣Nvu∣=6.(★)|Nvu|=6. \tag{★}∣Nvu∣=6.(★)

2)

𝑎 1 + 𝑎 2 < 10 a 1 ​

+a 2 ​

<10 조건이 공비의 부호를 결정

공비가 양수이면 모든 항이 양수이고, (★)(★)(★)와 결합해 보면

a1r2=6 ⇒ a1+a2=a1(1+r)=6r2(1+r)≥12a_1 r^2 = 6 \ \Rightarrow\ a_1+a_2=a_1(1+r) = \frac{6}{r^2}(1+r)\ge 12a1​r2=6 ⇒ a1​+a2​=a1​(1+r)=r26​(1+r)≥12 가 되어 a1+a2<10a_1+a_2<10a1​+a2​<10와 모순입니다. 그러므로 공비는 음수여야 합니다.

정수 항이 연속 3개라는 점을 감안하면, 자연스럽게 정수 항 위치는 a2,a3,a4a_2,a_3,a_4a2​,a3​,a4​가 됩니다(첫항은 정수가 아닐 수 있음). 이 경우 부호는 (−,+,−)(-,+,-)(−,+,−)로 곱이 +++가 되어 216216216과 일치합니다.

이제 r=−uv (0<u<v, gcd⁡(u,v)=1)r=-\dfrac{u}{v}\ (0<u<v,\ \gcd(u,v)=1)r=−vu​ (0<u<v, gcd(u,v)=1), 그리고 (★)(★)(★)로부터 가능한 (u,v,N)(u,v,N)(u,v,N)을 찾습니다. ∣Nvu∣=6|Nvu|=6∣Nvu∣=6이므로 vuvuvu는 1,2,3,61,2,3,61,2,3,6 중 하나,  u<v\ u<v u<v를 만족해야 합니다. 가능한 (u,v)(u,v)(u,v)는

(1,2), (1,3), (2,3), (1,6).(1,2),\ (1,3),\ (2,3),\ (1,6).(1,2), (1,3), (2,3), (1,6). 이때 a1+a2a_1+a_2a1​+a2​를 u,vu,vu,v로 직접 쓰면(정수 항이 a2,a3,a4a_2,a_3,a_4a2​,a3​,a4​일 때 계산)

a1+a2=6 v(v−u)u2.a_1+a_2 =6\,\frac{v(v-u)}{u^2}.a1​+a2​=6u2v(v−u)​. 각 경우를 대입하면

(u,v)=(1,2):6⋅2(1)1=12(×)(u,v)=(1,3):6⋅3(2)1=36(×)(u,v)=(1,6):6⋅6(5)1=180(×)(u,v)=(2,3):6⋅3(1)4=184=92(✓)\begin{array}{lcl} (u,v)=(1,2): & 6\cdot \dfrac{2(1)}{1} = 12 &(\times)\\[4pt] (u,v)=(1,3): & 6\cdot \dfrac{3(2)}{1} = 36 &(\times)\\[4pt] (u,v)=(1,6): & 6\cdot \dfrac{6(5)}{1} = 180 &(\times)\\[4pt] (u,v)=(2,3): & 6\cdot \dfrac{3(1)}{4} = \dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{2} &(\checkmark) \end{array}(u,v)=(1,2):(u,v)=(1,3):(u,v)=(1,6):(u,v)=(2,3):​6⋅12(1)​=126⋅13(2)​=366⋅16(5)​=1806⋅43(1)​=418​=29​​(×)(×)(×)(✓)​ 따라서 유일하게 성립하는 것은

r=−23.r=-\frac{2}{3}.r=−32​. 이때 (★)(★)(★)에서 N=−6vu=−63⋅2=−1N=-\dfrac{6}{vu}=-\dfrac{6}{3\cdot2}=-1N=−vu6​=−3⋅26​=−1이 되어

a2=Nv2=−9,a3=Nvu=6,a4=Nu2=−4,a_2=Nv^2=-9,\quad a_3=Nvu=6,\quad a_4=Nu^2=-4,a2​=Nv2=−9,a3​=Nvu=6,a4​=Nu2=−4, 그리고 a1=a2r=−9−2/3=272a_1=\dfrac{a_2}{r}=\dfrac{-9}{-2/3}=\dfrac{27}{2}a1​=ra2​​=−2/3−9​=227​. 검산하면 a1+a2=272−9=92<10a_1+a_2=\dfrac{27}{2}-9=\dfrac{9}{2}<10a1​+a2​=227​−9=29​<10, 정수 항은 정확히 세 개, 곱은 (−9)⋅6⋅(−4)=216(-9)\cdot 6\cdot(-4)=216(−9)⋅6⋅(−4)=216으로 조건과 일치합니다.

3) 급수의 합

∑n=1∞an=a11−r=272 1−(−2/3) =27253=8110.\sum_{n=1}^{\infty} a_n =\frac{a_1}{1-r} =\frac{\dfrac{27}{2}}{\,1-(-2/3)\,} =\frac{\dfrac{27}{2}}{\dfrac{5}{3}} =\frac{81}{10}.n=1∑∞​an​=1−ra1​​=1−(−2/3)227​​=35​227​​=1081​. 즉 qp=8110\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{81}{10}pq​=1081​이므로 p+q=10+81=91p+q=10+81=\boxed{91}p+q=10+81=91​입니다.

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\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{kotex} % 한국어

\begin{document}

\paragraph{30.} 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(g(x)\)는 모든 실수 \(x\)에 대하여 \[ f(x)=\ln\!\left(\frac{g(x)}{1+x f'(x)}\right) \] 를 만족시킨다. \(f(1)=4\ln 2\)이고 \[ \int_{1}^{2} g(x)\,dx=34,\qquad \int_{1}^{2} x\,g(x)\,dx=53 \] 일 때, \[ \int_{1}^{2} x\,e^{f(x)}\,dx \] 의 값을 구하시오. \([4\text{점}]\)

\end{document}

Assistant: 정답은 31\boxed{31}31​입니다.

정답은 31\boxed{31}31​입니다.

풀이 과정을 간단명료하게 정리하겠습니다.

주어진 관계식

f(x)=ln⁡ ⁣(g(x)1+xf′(x))f(x)=\ln\!\left(\frac{g(x)}{1+x f'(x)}\right)f(x)=ln(1+xf′(x)g(x)​) 을 지수화하면

ef(x)=g(x)1+xf′(x).e^{f(x)}=\frac{g(x)}{1+x f'(x)}.ef(x)=1+xf′(x)g(x)​. 이를 변형해 두 가지 미분 항등식을 얻습니다.

1. ggg의 적분과 경계값을 잇는 식 양변에 1+xf′(x)1+xf'(x)1+xf′(x)를 곱하면

g(x)=ef(x)+xef(x)f′(x)=ddx(xef(x)).g(x)=e^{f(x)}+x e^{f(x)}f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x e^{f(x)}\bigr).g(x)=ef(x)+xef(x)f′(x)=dxd​(xef(x)). 따라서

∫12g(x) dx=[xef(x)]12.\int_{1}^{2} g(x)\,dx=\Bigl[x e^{f(x)}\Bigr]_{1}^{2}.∫12​g(x)dx=[xef(x)]12​. 문제에서 ∫12g(x) dx=34, f(1)=4ln⁡2\int_{1}^{2} g(x)\,dx=34,\ f(1)=4\ln2∫12​g(x)dx=34, f(1)=4ln2이므로 ef(1)=16e^{f(1)}=16ef(1)=16. 따라서

2ef(2)−16=34 ⇒ ef(2)=25.2e^{f(2)}-16=34\ \Rightarrow\ e^{f(2)}=25.2ef(2)−16=34 ⇒ ef(2)=25.

1. 구하고자 하는 적분으로의 환원 관계식에 xxx를 곱하고 위 항등식을 활용하면

xg(x)=xef(x)+x2ef(x)f′(x)=ddx(x2ef(x))−xef(x).x g(x)=x e^{f(x)}+x^{2}e^{f(x)}f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{f(x)}\bigr)-x e^{f(x)}.xg(x)=xef(x)+x2ef(x)f′(x)=dxd​(x2ef(x))−xef(x). 따라서

∫12xef(x) dx=[x2ef(x)]12−∫12xg(x) dx.\int_{1}^{2} x e^{f(x)}\,dx =\Bigl[x^{2}e^{f(x)}\Bigr]_{1}^{2}-\int_{1}^{2} x g(x)\,dx.∫12​xef(x)dx=[x2ef(x)]12​−∫12​xg(x)dx. 주어진 ∫12xg(x) dx=53\int_{1}^{2} x g(x)\,dx=53∫12​xg(x)dx=53과 ef(1)=16, ef(2)=25e^{f(1)}=16,\ e^{f(2)}=25ef(1)=16, ef(2)=25을 대입하면

[x2ef(x)]12=4⋅25−1⋅16=100−16=84,\Bigl[x^{2}e^{f(x)}\Bigr]_{1}^{2}=4\cdot25-1\cdot16=100-16=84,[x2ef(x)]12​=4⋅25−1⋅16=100−16=84, ∫12xef(x) dx=84−53=31.\int_{1}^{2} x e^{f(x)}\,dx=84-53=31.∫12​xef(x)dx=84−53=31. 따라서 ∫12x ef(x) dx=31\displaystyle \int_{1}^{2} x\,e^{f(x)}\,dx=31∫12​xef(x)dx=31입니다.