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=== Assistant: 我們用 座標幾何逐項檢查，仔細計算每一步。 ===
我們用 座標幾何逐項檢查，仔細計算每一步。

==== - A=(5,2),B=(3,9),C=(5,11)A=(5,2), B=(3,9), C=(5,11)A=(5,2),B=(3,9),C=(5,11) ====

==== 公式： ====

G=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)G=(3xA+xB+xC,3yA+yB+yC)
計算：

xG=5+3+53=133≈4.3333x_G = \frac{5+3+5}{3} = \frac{13}{3} \approx 4.3333xG=35+3+5=313≈4.3333
yG=2+9+113=223≈7.3333y_G = \frac{2+9+11}{3} = \frac{22}{3} \approx 7.3333yG=32+9+11=322≈7.3333
* 題目選項給的 S=(10/3,20/3)≈(3.333,6.667)S=(10/3, 20/3) \approx (3.333,6.667)S=(10/3,20/3)≈(3.333,6.667) ❌

✅ 結論 (1) 錯誤

==== - S = (13/3,22/3) ====
* Z=(4,3) → Z=(4,3)

計算距離：

d=(xS−xZ)2+(yS−yZ)2=(13/3−4)2+(22/3−3)2=(13/3−12/3)2+(22/3−9/3)2=(1/3)2+(13/3)2=1/9+169/9=170/9=1703d = \sqrt{(x_S-x_Z)^2 + (y_S-y_Z)^2} 
= \sqrt{(13/3-4)^2 + (22/3-3)^2} 
= \sqrt{(13/3-12/3)^2 + (22/3-9/3)^2} 
= \sqrt{(1/3)^2 + (13/3)^2} 
= \sqrt{1/9 + 169/9} 
= \sqrt{170/9} 
= \frac{\sqrt{170}}{3}d=(xS−xZ)2+(yS−yZ)2=(13/3−4)2+(22/3−3)2=(13/3−12/3)2+(22/3−9/3)2=(1/3)2+(13/3)2=1/9+169/9=170/9=3170
* 選項寫的是 √190 /3 ❌

✅ 結論 (2) 錯誤

==== 直線 BC： ====
* B=(3,9), C=(5,11)
* 斜率 m=(11−9)/(5−3)=2/2=1m=(11-9)/(5-3)=2/2=1m=(11−9)/(5−3)=2/2=1
* 直線方程式：

y−9=1(x−3)⇒y=x+6y-9 = 1(x-3) \Rightarrow y = x+6y−9=1(x−3)⇒y=x+6
距離公式：

d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}d=A2+B2∣Ax0+By0+C∣
將直線寫成一般式 x−y+6=0x - y + 6=0x−y+6=0 → A=1,B=-1,C=6
* Z'=(4,17)

d=∣1∗4+(−1)∗17+6∣12+(−1)2=∣4−17+6∣2=∣−7∣2=72=722d = \frac{|1''4 + (-1)''17 +6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|4-17+6|}{\sqrt{2}} = \frac{|-7|}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}d=12+(−1)2∣1∗4+(−1)∗17+6∣=2∣4−17+6∣=2∣−7∣=27=272
✔ 與選項一致

✅ 結論 (3) 正確

==== - ∠CBA → 在 B 頂點 ====
* 向量：

BC⃗=C−B=(5−3,11−9)=(2,2)\vec{BC} = C-B = (5-3, 11-9) = (2,2)BC=C−B=(5−3,11−9)=(2,2)
BA⃗=A−B=(5−3,2−9)=(2,−7)\vec{BA} = A-B = (5-3,2-9) = (2,-7)BA=A−B=(5−3,2−9)=(2,−7)
內積：

BA⃗⋅BC⃗=2∗2+(−7)∗2=4−14=−10\vec{BA}\cdot \vec{BC} = 2''2 + (-7)''2 = 4 -14 = -10BA⋅BC=2∗2+(−7)∗2=4−14=−10
長度：

∣BA⃗∣=22+(−7)2=4+49=53|\vec{BA}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2} = \sqrt{4+49} = \sqrt{53}∣BA∣=22+(−7)2=4+49=53
∣BC⃗∣=22+22=8=22|\vec{BC}| = \sqrt{2^2 +2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}∣BC∣=22+22=8=22
cos⁡∠CBA=−1053∗22=−102106=−5106\cos∠CBA = \frac{-10}{\sqrt{53} * 2\sqrt{2}} = \frac{-10}{2\sqrt{106}} = \frac{-5}{\sqrt{106}}cos∠CBA=53∗22−10=2106−10=106−5
* 選項寫 −6106/106=−6/106-6\sqrt{106}/106 = -6/ \sqrt{106}−6106/106=−6/106 ❌

✅ 結論 (4) 錯誤

==== - S=(13/3,22/3), A=(5,2), B=(3,9) ====

AS⃗=S−A=(13/3−5,22/3−2)=(13/3−15/3,22/3−6/3)=(−2/3,16/3)\vec{AS} = S-A = (13/3 -5, 22/3 -2) = (13/3 -15/3, 22/3 -6/3) = (-2/3, 16/3)AS=S−A=(13/3−5,22/3−2)=(13/3−15/3,22/3−6/3)=(−2/3,16/3)
AB⃗=B−A=(3−5,9−2)=(−2,7)\vec{AB} = B-A = (3-5,9-2) = (-2,7)AB=B−A=(3−5,9−2)=(−2,7)
內積：

AS⃗⋅AB⃗=(−2/3)∗(−2)+(16/3)∗7=4/3+112/3=116/3\vec{AS}\cdot \vec{AB} = (-2/3)''(-2) + (16/3)''7 = 4/3 + 112/3 = 116/3AS⋅AB=(−2/3)∗(−2)+(16/3)∗7=4/3+112/3=116/3
✔ 與選項一致

✅ 結論 (5) 正確

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如果你願意，我可以幫你畫出 △ABC + S + Z + Z' + 直線BC，讓三角幾何和距離視覺化，一眼就能確認這些答案。

你想要我畫嗎？