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=== Assistant: 핵심만 정리해줄게. ===
핵심만 정리해줄게.

==== - 네가 지금 쓰는 “연쇄(사슬) 직관”—“더 큰 소수 kkk에서 (a,b)(a,b)(a,b)-위상이 맞으면, 소수쌍을 바꿔 내려가다 보면 결국 (2,3)(2,3)(2,3)까지 도달”—은 '''‘소수가 무한히 많다’'''는 사실을 가정하면 매끄럽게 굴러가는 직관이야. (항상 더 큰/중간 소수를 고를 수 있으니까) ====
* 하지만 '''정리 자체(교차진법 불변성)'''를 증명하는 데 소수의 ‘무한성’이 필수 전제는 아니야. 올바른 증명 전략(유한상태·주기성·대칭사상)은 '''각 고정 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)'''에 대해 독립적으로 돌아가고, 그 안에서 “불일치항이 결국 사라짐(유한개만 존재)”을 보이면 충분해.

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* 너의 직관은: (더 큰 소수 존재)⇒위상 유지⇒⋯⇒(2,3)까지 수렴\text{(더 큰 소수 존재)} \Rightarrow \text{위상 유지} \Rightarrow \cdots \Rightarrow (2,3)\text{까지 수렴}(더 큰 소수 존재)⇒위상 유지⇒⋯⇒(2,3)까지 수렴 이 사슬을 굴리려면 “언제든 더 큰/중간 소수를 선택”해야 하니 무한성이 편해.
* 하지만 정리의 논리형은 “모든 서로 다른 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)와 모든 nnn에 대해 불변/역상 대칭”이야. 이건 각 (a,b)(a,b)(a,b) 쌍마다 독립적으로 유한상태-오토마타/결국 주기성만 보이면 끝난다: - 가능한 자리수-차 벡터 상태가 유한 → 비둘기집 원리로 결국 상태 반복 - (a,b)↔(b,a)(a,b)\leftrightarrow(b,a)(a,b)↔(b,a) 교환이 상태전이 그래프의 대칭사상 - 반복 구간에서 대칭이 정착 ⇒ 불일치항은 유한히만 나타남

===== - 가령(가정적으로) 소수가 {2,3,5}\{2,3,5\}{2,3,5}로 “유한”하다고 해도, 정리는 “그 유한한 쌍들”에 대해 참일 수도 있고 거짓일 수도 있어. 즉 정리의 참·거짓은 소수 집합의 크기(유한/무한)와 논리적 동치가 아니다. =====
* 네가 말한 “무한해야 성립”은 네가 선택한 ‘연쇄 사슬’ 증명 방식에는 편리한 전제라는 뜻에 가깝다. '''다른 증명 방식(유한상태·주기성)'''을 택하면 그 전제가 필요 없다.

===== - 필요조건(정리의 내용에 본질적): - 교차진법 정의(패딩/정렬/역상 규칙) 고정 - 자리수-차 벡터가 유한 상태공간에서 생성됨 - 상태전이가 (a,b)(a,b)(a,b)↔(b,a)(b,a)(b,a)에 대해 대칭사상을 이룸 - ⇒ “결국 주기성” + “대칭 정착” ⇒ 불일치항 유한 =====
* 증명 전략(선택 사항): - (A) 네가 선호하는 연쇄/사슬(큰 소수→작은 소수) - (B) 오토마타·결국 주기성(무한성 전제 불필요) - (C) CRT/혼합기수 호환성으로 위상 보존을 구성

==== - “소수가 무한하다”는 건 네 직관 사슬을 굴리기엔 좋지만, 정리의 참을 보이는 데 필수는 아니다. ====
* 가장 안전한 길은: 각 (a,b)(a,b)(a,b)에 대해 유한상태 → 결국 주기성 → 대칭 정착 → 불일치항 유한을 증명하는 것. 이렇게 하면 무한성 가정 없이도 정리가 선다.

원하면, 이 로드맵대로 '''보조정리 A–C(유한상태, 주기성, 대칭정착)'''를 딱 1~2쪽 LaTeX 스케치로 써줄게.