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=== Assistant: 아이디어의 골자는 이해했어요: ===
아이디어의 골자는 이해했어요:
큰 소수 kkk에 대해 (a,b)(a,b)(a,b)-연산(교차진법)에서 kkk와 k−1k-1k−1의 “위상(= 자리수 차 벡터의 패턴)”이 같고, 또 a,ba,ba,b 자체도 소수이니 같은 논리를 계속 내려가면 결국 (2,3)(2,3)(2,3)까지 “위상이 같아야 한다” → 그래서 전역적으로 성립한다… 라는 흐름이죠.

하지만 이 논증이 성립하려면 필수 가정 하나가 더 필요합니다:

: 

여기서 Φa,b(n)\Phi_{a,b}(n)Φa,b(n)은 “(a,b)(a,b)(a,b)-교차진법에서 nnn과 n−1n-1n−1의 자리수 차 벡터” 같은 ‘위상’ 함수라고 보시면 됩니다.

문제는, 기본적으로 이런 전이/준동형이 자동으로 성립하지 않는다는 점이에요.
* 서로 다른 진법(예: aaa-진, bbb-진)에서의 자리수 전개는 서로 독립입니다. 101010-진 숫자열이 222-진 숫자열로 “자연사상” 되지 않듯이, Φa,b\Phi_{a,b}Φa,b와 Φp,q\Phi_{p,q}Φp,q 사이에 자연스러운 사상이 일반적으로 없습니다.
* “주기(최소단위)가 lcm(a,b)=ab\mathrm{lcm}(a,b)=ablcm(a,b)=ab쯤 된다”는 일의 자리 모듈러 관찰은 맞을 수 있지만, 교차진법의 다자릿수 벡터에는 캐리/버로우가 얽혀 단순 ababab 주기가 깨집니다. (그래서 (2,3)(2,3)(2,3)에서 보이는 현상이 (a,b)(a,b)(a,b)로 자동 승계된다고 볼 수 없음)

그래서 “(a,b)(a,b)(a,b)에서 맞으면 (p,q)(p,q)(p,q)에서도 맞고… 결국 (2,3)(2,3)(2,3)까지 내려가면 전부 맞는다”라는 귀류식-사슬은,
연산자-교체에 대한 ‘위상 보존’이 증명되지 않는 한 정당화가 안 됩니다.

==== 당신의 직관을 정식 증명으로 끌어올리려면, 아래처럼 ‘호환성’을 보이면 됩니다. ====
# CRT/혼합 기수 호환성(Compatibility under refinement) Φa,b(n)=F(n mod ata,  n mod btb)\Phi_{a,b}(n) = F\big(n\bmod a^{t_a},\; n\bmod b^{t_b}\big)Φa,b(n)=F(nmodata,nmodbtb) 처럼 유한 모듈러 정보만으로 결정되고, 이 표현이 기수 정제(refinement) 에 대해 호환적임을 보이세요. (예: (a,b)(a,b)(a,b)에서의 위상이 (pa,pb)(pa,pb)(pa,pb)로 “올라가도” 보존되는 성질)
# 자연사상/준동형(Functoriality) 서로 다른 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b), (p,q)(p,q)(p,q)에 대해 ∃ Ψ(a,b)→(p,q): Φa,b(n)↦Φp,q(n)\exists\,\Psi_{(a,b)\to(p,q)}:\ \Phi_{a,b}(n)\mapsto \Phi_{p,q}(n)∃Ψ(a,b)→(p,q): Φa,b(n)↦Φp,q(n) 이 구성적으로 존재하고, Ψ\PsiΨ가 전이성(합성에 대해 닫힘) 을 가지면 (k,k−1)(k,k-1)(k,k−1)에서의 불변성이 사슬을 타고 (2,3)(2,3)(2,3)까지 내려갑니다.
# 유한상태 오토마타 모델(결국 주기성) {Φa,b(n)}n\{\Phi_{a,b}(n)\}_n{Φa,b(n)}n이 유한상태 전이로 모델링되고(캐리/버로우를 상태로 흡수), (a,b)↔(b,a)(a,b)\leftrightarrow(b,a)(a,b)↔(b,a) 교환이 상태전이 그래프의 대칭사상임을 보이면, “불일치가 무한히 지속될 수 없음(결국 주기)”이 따라옵니다. 이건 “연산자가 결정되어 있다”는 사실을 논리로 닫는 보조정리가 됩니다.

위 셋 중 ① 또는 ②가 성립하면, 당신이 말한 “큰 소수에서 시작해 (2,3)(2,3)(2,3)까지 내려오는 사슬”이 정식화됩니다.
그렇지 않으면, 연산자 쌍이 바뀔 때 위상이 깨지는 비호환 사례가 언제든 등장할 수 있어요.

==== - 지금 직관: 좋다. (큰 소수 kkk에서도 위상이 같아야 하고, 결국 (2,3)(2,3)(2,3)까지 연결된다는 생각) ====
* 엄밀성: 연산자-교체에 대한 호환성이 필요하다. 그게 없으면 “사슬 논증”은 빈틈이 생김.
* 추천 노선: CRT/혼합기수 호환성 또는 오토마타 주기성 + 대칭사상을 보조정리로 만들어, “불일치 무한 불가능 → 결국 대칭 안정”을 닫아라.

원하면, 위 3가지 충분조건 가운데 오토마타 주기성 접근으로
정의–보조정리–정리–증명까지 LaTeX 초안을 바로 써 줄게요 (짧은 1~2쪽).