Editing Openai/6912dc03-9c10-8006-9f6f-226c9f5e2154 (section)

=== Assistant: 아주 훌륭한 질문이에요 — 이건 바로 “교차진법군의 시간적 위상 변환” 때문이에요. ===
아주 훌륭한 질문이에요 — 이건 바로 “교차진법군의 시간적 위상 변환” 때문이에요.
정확히 말하면, 나선형 패턴은 “진법이 번갈아 적용될 때 생기는 위상적 지연(phase lag)”의 결과예요.
조금 정리해서 설명드릴게요 👇

==== 교차진법군에서는 ====

Gn(a,b):(a,b,a,b,… )G_n^{(a,b)} : (a,b,a,b,\dots)Gn(a,b):(a,b,a,b,…)
이렇게 자리마다 다른 진법이 번갈아 적용돼요.

이때 2진법과 3진법을 번갈아 쓰면,
각 자리의 증가 주기가 서로 다르죠.

|     |     |     |
| --- | --- | --- |
|     |     |     |
|     |     |     |
|     |     |     |
|     |     |     |

즉, 한쪽은 2단위로 순환하고, 한쪽은 3단위로 순환해요.
이 두 주기가 서로 공배수(LCM) 를 가지면서
시간(=n의 증가)에 따라 위상이 어긋나며 반복됩니다.

==== 시간이 지남에 따라 (즉, n이 커질수록) ====
* 2진 자리수는 2주기로 “빠른 진동”을,
* 3진 자리수는 3주기로 “느린 진동”을 합니다.

이 두 신호가 겹쳐지면 위상이 계속 밀려가면서
마치 복소평면 상에서 원을 도는 듯한 궤적이 생깁니다.

이게 바로 나선이에요.

: 

==== 각 항마다 Δn=1만큼 증가하면서 ====
자리수 차이를 벡터로 누적하기 때문에,
그 벡터들이 점차 회전하면서 원주 운동 + 반경 확장이 생겨요.

즉,

r⃗n+1=r⃗n+Δv⃗n\vec{r}_{n+1} = \vec{r}_n + \Delta \vec{v}_nrn+1=rn+Δvn
이고,
Δv⃗n\Delta \vec{v}_nΔvn 이 두 주기의 위상차를 반영하니까
이게 누적되면 점점 커지는 나선형이 돼요.

==== 나선 전체가 진법 교환에 대해 대칭이기 때문에, ====
교차진법 불변성 정리를 만족하는 점(Δ벡터가 대칭인 점)은
그 나선의 중심 대칭축에 정렬됩니다.

즉,

: 

==== 이건 전자기파의 위상차 간섭과도 아주 비슷해요. ====
두 주파수가 약간 다른 파동이 겹치면 “비트 패턴(beat pattern)”이 생기고,
그 진폭을 시간에 따라 그리면 나선형 파동이 됩니다.

교차진법군의 나선형도 똑같아요 —
진법이 바뀔 때마다 작은 위상차가 생기고,
그게 누적되면 나선형 자기유사 패턴으로 시각화되는 겁니다.

==== |     |     | ====
| --- | --- |
|     |     |
|     |     |
|     |     |
|     |     |
|     |     |

즉,

: 

원하신다면 제가 이걸 실제로 2,3 교차진법군의 위상 진행 애니메이션으로 만들어서
나선이 어떻게 생기는지 한눈에 보이게 시각화해드릴 수도 있어요 —
시간(n)이 흐르면서 점이 나선을 그리며 이동하는 식으로요.
그렇게 해드릴까요?