Editing Openai/69174844-9774-8012-8b69-32262ca5e35a (section)

==== ### ====

在量子力学中，一个自由电子场（狄拉克场）满足

L=ψˉ(iγμ∂μ−m)ψ\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\psiL=ψˉ(iγμ∂μ−m)ψ
这个拉格朗日密度在全局相位变换

ψ(x)→eiαψ(x)\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha}\psi(x)ψ(x)→eiαψ(x)
下是不变的。
这是一个 全局 U(1) 对称性，对应 Noether 守恒量：

Jμ=ψˉγμψ,∂μJμ=0J^\mu = \bar{\psi}\gamma^\mu\psi,\quad \partial_\mu J^\mu = 0Jμ=ψˉγμψ,∂μJμ=0
也就是电荷守恒。

: 

===== 现在我们要求相位变换允许在时空中“变化”： =====

ψ(x)→eiα(x)ψ(x)\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\psi(x)ψ(x)→eiα(x)ψ(x)
这是局域 U(1) 对称性（local gauge symmetry）。
问题：原来的导数项不再不变，因为

∂μψ→eiα(x)[∂μ+i(∂μα)]ψ\partial_\mu \psi \rightarrow e^{i\alpha(x)}\big[\partial_\mu + i(\partial_\mu \alpha)\big]\psi∂μψ→eiα(x)[∂μ+i(∂μα)]ψ
多出了 ∂μα\partial_\mu\alpha∂μα 项。

为了恢复不变性，我们必须引入一个新的场 Aμ(x)A_\mu(x)Aμ(x)，定义

Dμ≡∂μ+ieAμD_\mu \equiv \partial_\mu + i e A_\muDμ≡∂μ+ieAμ
并让 AμA_\muAμ 在局域变换下相应地变化：

Aμ(x)→Aμ(x)−1e∂μα(x)A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) - \frac{1}{e}\partial_\mu \alpha(x)Aμ(x)→Aμ(x)−e1∂μα(x)
于是整个拉格朗日：

L=ψˉ(iγμDμ−m)ψ\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psiL=ψˉ(iγμDμ−m)ψ
在局域 U(1) 对称下保持不变。

👉 这个引入的新场 AμA_\muAμ，就是电磁势，电磁相互作用的载体。

===== U(1) 是所有复相位 eiθe^{i\theta}eiθ 的群，其生成元是一个单一的厄米算符 QQQ，满足： =====

eiθQψ=eiqθψe^{i\theta Q} \psi = e^{iq\theta}\psieiθQψ=eiqθψ
这里 qqq 是该场的“电荷”。

: 

这就是为什么我们说：

: 

（在非阿贝尔情形，SU(2)SU(2)SU(2) 有 3 个生成元 → 三种 W 玻色子；
SU(3)SU(3)SU(3) 有 8 个 → 八个胶子。）