Editing Openai/691718ed-7ba4-8006-96d5-a66e0d9678fe (section)

== gpt-5-thinking ==
=== User: 好 ===
好

=== Assistant: 我幫你把「1000 名新生兒中有 520 位男嬰」這個例子的 精確二項檢定 p 值算出來，並和常態近似做了對照。已把結果整理成小表格給你看（上方可點開）。 ===
我幫你把「1000 名新生兒中有 520 位男嬰」這個例子的 精確二項檢定 p 值算出來，並和常態近似做了對照。已把結果整理成小表格給你看（上方可點開）。

重點數值：
* 精確二尾 p 值（H0:p=0.5H_0: p=0.5H0:p=0.5，計算 P(X≤480)+P(X≥520)P(X\le 480)+P(X\ge 520)P(X≤480)+P(X≥520)）：0.2174482932
* 常態近似（不含連續性校正）：0.2059032107
* 常態近似（含連續性校正）：0.2174682261

結論：
p ≈ 0.217（精確值），大於常見的顯著水準 0.05，因此沒有足夠證據拒絕「男女出生率相等」的虛無假設。若你想換不同的樣本量或觀察數（例如 560 vs 440），我也可以立刻幫你改參數再算。

=== User: 那如果說是只有100人的狀況呢？ ===
那如果說是只有100人的狀況呢？

=== Assistant: 在 100 名嬰兒 n100、p00.5p00.5p00.5、雙尾 α0.05\alpha0.05α0.05 的設定下，用精確二項去找臨界值： ===
在 100 名嬰兒 (n=100)、p0=0.5p_0=0.5p0=0.5、雙尾 α=0.05\alpha=0.05α=0.05 的設定下，用精確二項去找臨界值：
* 找到的最小上界是 男嬰 ≥ 61（對稱下界是 ≤ 39）
* 對應的雙尾 p 值 ≈ 0.0352 < 0.05（已達顯著）

因此臨界區域為：
* 拒絕 H0H_0H0（認為男女出生率不等）：男嬰數 ≤ 39 或 ≥ 61
* 接受 H0H_0H0：男嬰數在 40 ~ 60 之間

直覺比較：
* n=100n=100n=100 時需要至少 ±11 人（從 50 偏到 39 或 61，約 11% 的比例差）才顯著
* n=1000n=1000n=1000 時約 ±32 人（3.2%）
* n=10000n=10000n=10000 時約 ±98 人（0.98%）

樣本越大，能偵測到越小的比例差。需要我把三種樣本規模的臨界區做成一張比較小表或圖嗎？

=== User: 那如果這個事件的發生機率不再是50% 而是例如 20%呢? ===
那如果這個事件的發生機率不再是50% 而是例如 20%呢?

=== Assistant: 如果事件在虛無假設下的機率不是 50%，例如 p00.20p0  0.20p00.20，做法一樣，只是分布不對稱。我幫你用 n  100、雙尾 α0.05\alpha0.05α0.05 算了精確二項的臨界區，並用常態近似做… ===
如果事件在虛無假設下的機率不是 50%，例如 p0=0.20p_0 = 0.20p0=0.20，做法一樣，只是分布不對稱。我幫你用 n = 100、雙尾 α=0.05\alpha=0.05α=0.05 算了精確二項的臨界區，並用常態近似做對照（上方有兩個小表可以展開查看）。

===== - 精確等尾法（each tail ≈ 0.025）得到： - 下臨界點：X≤11X \le \mathbf{11}X≤11，其 P(X≤11)≈0.0126P(X \le 11) \approx 0.0126P(X≤11)≈0.0126 - 上臨界點：X≥29X \ge \mathbf{29}X≥29，其 P(X≥29)≈0.0200P(X \ge 29) \approx 0.0200P(X≥29)≈0.0200 -（兩端合計約 0.0326，這是因為二項分布是離散的，無法剛好切到 0.025+0.025） =====
* 常態近似（含連續性校正）：下界約 ≤ 12、上界約 ≥ 28（和精確值非常接近）

解讀：在 n=100n=100n=100、p0=0.20p_0=0.20p0=0.20 下，觀察到
* X≤11X \le 11X≤11（太少）或 X≥29X \ge 29X≥29（太多）就會拒絕 H0H_0H0。
* 例如觀察到 25 個事件不算顯著；30 個事件就會顯著。

我也算了幾個例子的 p 值（上方第二個表）供你對照，例如：
* X=25X=25X=25：雙尾精確 p（probability-based）約多少；單尾 P(X≥25)P(X\ge 25)P(X≥25) 也一併列出。
* X=28X=28X=28、303030、353535：可以看到超過 29 後，p 值迅速跌破 0.05。

如果你要換成 其他樣本數（像是 1000 或 10000），或指定 單尾檢定，我可以直接幫你把臨界值與 p 值表生出來做比較。

=== User: 請幫我算出 n  1000 和 n  10000、p₀  0.2 的「臨界區（拒絕區）」範圍？ ===
請幫我算出 n = 1000 和 n = 10000、p₀ = 0.2 的「臨界區（拒絕區）」範圍？

=== Assistant: 好的！在 兩尾檢定 α0.05\alpha0.05α0.05、假設機率 p00.20p00.20p00.20 的情況下，我用常態近似（含連續性校正）算出以下「拒絕區（臨界區）」；在這兩個樣本數下近似非常準確： ===
好的！在 兩尾檢定 α=0.05\alpha=0.05α=0.05、假設機率 p0=0.20p_0=0.20p0=0.20 的情況下，我用'''常態近似（含連續性校正）'''算出以下「拒絕區（臨界區）」；在這兩個樣本數下近似非常準確：

===== - 期望值：μ=np0=200\mu = np_0 = 200μ=np0=200 =====
* 標準差：σ=np0(1−p0)=160≈12.65\sigma = \sqrt{np_0(1-p_0)} = \sqrt{160} \approx 12.65σ=np0(1−p0)=160≈12.65
* 臨界 zzz：約 1.96
* 拒絕 H0H_0H0 當： - 男嬰數 ≤175\le 175≤175 或 ≥225\ge 225≥225
* 換成比例：≤17.5%\le 17.5\%≤17.5% 或 ≥22.5%\ge 22.5\%≥22.5%（離 20% 約 ±2.5 個百分點）

===== - 期望值：μ=2000\mu = 2000μ=2000 =====
* 標準差：σ=16000≈126.49\sigma = \sqrt{16000} \approx 126.49σ=16000≈126.49
* 拒絕 H0H_0H0 當： - 男嬰數 ≤1752\le 1752≤1752 或 ≥2248\ge 2248≥2248
* 比例：≤17.52%\le 17.52\%≤17.52% 或 ≥22.48%\ge 22.48\%≥22.48%（離 20% 約 ±2.48 個百分點）

: 

如果你想要精確二項（非近似）的臨界點，我可以針對 n=1000 做精確計算給你對照；n=10000 也能做，但需要用更穩定的數值法（結果會非常接近上述近似值）。

=== User: 好 ===
好

=== Assistant: 算好了！以下是在 兩尾 α0.05\alpha0.05α0.05、p00.20p00.20p00.20 的設定下： ===
算好了！以下是在 兩尾 α=0.05\alpha=0.05α=0.05、p0=0.20p_0=0.20p0=0.20 的設定下：

===== - 下臨界點：X≤175X \le \mathbf{175}X≤175，P(X≤175)≈0.02499P(X \le 175) \approx \mathbf{0.02499}P(X≤175)≈0.02499 =====
* 上臨界點：X≥226X \ge \mathbf{226}X≥226，P(X≥226)≈0.02311P(X \ge 226) \approx \mathbf{0.02311}P(X≥226)≈0.02311

也就是說：
* 拒絕 H0H_0H0 當 X≤175X \le 175X≤175 或 X≥226X \ge 226X≥226
* 換成比例：≤17.5%\le 17.5\%≤17.5% 或 ≥22.6%\ge 22.6\%≥22.6%（距離 20% 約 ±2.5 個百分點）
* 我已把這個精確結果整理成表格（上方可展開查看）。

===== - 下臨界點：約 X≤1752X \le 1752X≤1752 =====
* 上臨界點：約 X≥2248X \ge 2248X≥2248
* 比例：≤17.52%\le 17.52\%≤17.52% 或 ≥22.48%\ge 22.48\%≥22.48%（同樣約 ±2.5 個百分點）

: 

如果你想把這些臨界點畫成一張圖（標出接受區與拒絕區），我可以幫你生圖對照 n=100、1000、10000 在 p0=0.2p_0=0.2p0=0.2 下的差異。

=== User: 這樣看起來即使樣本數變多，好像誤差範圍還是沒有小太多? ===
這樣看起來即使樣本數變多，好像誤差範圍還是沒有小太多?

=== Assistant: 好眼力！這裡有兩個容易混淆的點： ===
好眼力！這裡有兩個容易混淆的點：
# 看「人數差」 vs 看「比例差」
* 臨界門檻的「人數差」會跟 n\sqrt{n}n 一起長大（越多樣本，臨界差的人數要更多）。
* 但我們真正關心通常是「比例差」（誤差範圍），它會隨 1/n1/\sqrt{n}1/n 變小——樣本越大，比例上的誤差越小。
# 我前面把 n=10000、p0=0.2p_0=0.2p0=0.2 的比例臨界值寫成「約 ±2.5%」是口誤，正確應該是約 ±0.78%。跟你說聲抱歉🙏，下面給你一張對照表釐清：

| 設定  | 期望比例 
𝑝
0
p
0
	 | 樣本數 
𝑛
n | 臨界比例（約）             | 誤差幅度（約） |
| --- | ----------------- | --------- | ------------------- | ------- |
| 小樣本 | 0.20              | 100       | ≤ 11% 或 ≥ 29%       | ±9%     |
| 中樣本 | 0.20              | 1,000     | ≤ 17.5% 或 ≥ 22.6%   | ±2.5%   |
| 大樣本 | 0.20              | 10,000    | ≤ 19.22% 或 ≥ 20.78% | ±0.78%  |

: 計算依據（雙尾 
: 𝛼
: =
: 0.05
: α=0.05）：
: 誤差 ≈ 
: 𝑧
: 0.975
: 𝑝
: 0
: (
: 1
: −
: 𝑝
: 0
: )
: /
: 𝑛
: z
: 0.975
: 	
: 
: p
: 0
: 	
: 
: (1−p
: 0
: 	
: 
: )/n
: 	
: 
: ；帶入 
: 𝑝
: 0
: =
: 0.2
: p
: 0
: 	
: 
: =0.2、
: 𝑧
: ≈
: 1.96
: z≈1.96
: 
: 𝑛
: =
: 1,000
: n=1,000：
: 1.96
: 0.16
: /
: 1000
: ≈
: 2.48
: %
: 1.96
: 0.16/1000
: 	
: 
: ≈2.48%
: 
: 𝑛
: =
: 10,000
: n=10,000：
: 1.96
: 0.16
: /
: 10000
: ≈
: 0.784
: %
: 1.96
: 0.16/10000
: 	
: 
: ≈0.784%

===== 直覺 =====
* 如果你用「人數」看，從 n=1000n=1000n=1000 到 n=10000n=10000n=10000 的臨界差數量從大約 ±25 人變成'''±98 人'''，會以為差很多；
* 但換成「比例」，其實從 ±2.5% 縮到 ±0.78%，是明顯縮小的。這就是「n\sqrt{n}n 規模」的效果：樣本加 10 倍，比例誤差大約縮到原來的 110\tfrac{1}{\sqrt{10}}101。

如果你想，我可以把不同 nnn 的樣本量 vs. 誤差畫成一張曲線（∝1/n\propto 1/\sqrt{n}∝1/n），超直觀！