Editing Openai/692c9ea1-b3cc-800e-94da-4224ac78a36a (section)

==== 2. Rephrasing the problem in terms of powers ====

For each base did_idi, write

S(di)={∑jεi,jdij:εi,j∈{0,1}}S(d_i) = \left\{\sum_j \varepsilon_{i,j} d_i^j : \varepsilon_{i,j}\in\{0,1\}\right\}S(di)={j∑εi,jdij:εi,j∈{0,1}}
(the integers whose base-did_idi expansion uses only digits 0 and 1).

Your question is:

: Given 
: 3
: ≤
: 𝑑
: 1
: <
: ⋯
: <
: 𝑑
: 𝑘
: 3≤d
: 1
: 	
: 
: <⋯<d
: k
: 	
: 
:  with
: 
: ∑
: 𝑖
: =
: 1
: 𝑘
: 1
: 𝑑
: 𝑖
: −
: 1
:   
: ≥
: 1
: ,
: i=1
: ∑
: k
: 	
: 
: d
: i
: 	
: 
: −1
: 1
: 	
: 
: ≥1,
: 
: can every sufficiently large integer 
: 𝑁
: N be written as
: 
: 𝑁
: =
: ∑
: 𝑡
: 𝑐
: 𝑡
: 𝑎
: 𝑡
: ,
: 𝑐
: 𝑡
: ∈
: {
: 0
: ,
: 1
: }
: ,
: N=
: t
: ∑
: 	
: 
: c
: t
: 	
: 
: a
: t
: 	
: 
: ,c
: t
: 	
: 
: ∈{0,1},
: 
: where each 
: 𝑎
: 𝑡
: ∈
: 𝑆
: (
: 𝑑
: 𝑖
: )
: a
: t
: 	
: 
: ∈S(d
: i
: 	
: 
: ) for some 
: 𝑖
: i (i.e. each summand has only 0–1 digits in its base 
: 𝑑
: 𝑖
: d
: i
: 	
: 
: )?

The key observation:

: If we can represent every 
: 𝑁
: N as a sum of distinct powers 
: 𝑑
: 𝑖
: 𝑗
: d
: i
: j
: 	
: 
: , then we automatically get a representation of the required form by grouping powers with the same base.

Indeed, suppose we have

N=∑i=1k∑j≥0εi,jdij,εi,j∈{0,1}.N = \sum_{i=1}^k \sum_{j\ge0} \varepsilon_{i,j} d_i^j,\qquad \varepsilon_{i,j}\in\{0,1\}.N=i=1∑kj≥0∑εi,jdij,εi,j∈{0,1}.
For each base did_idi set

Ai:=∑j≥0εi,jdij.A_i := \sum_{j\ge0} \varepsilon_{i,j} d_i^j.Ai:=j≥0∑εi,jdij.
Then each AiA_iAi has only 0/1 digits in base did_idi, and

N=∑i:Ai>0Ai.N = \sum_{i: A_i>0} A_i.N=i:Ai>0∑Ai.
So the original problem reduces to:

: Is the sequence of all pure powers of the 
: 𝑑
: 𝑖
: d
: i
: 	
: 
:  a complete sequence?

This is exactly the setting where Brown’s criterion shines.