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=== Assistant: 등비수열의 첫째항을 aaa, 공비를 rrr라 두면 a2ar1a2ar1a2ar1이므로 a1ra\dfrac1rar1입니다. ===
등비수열의 첫째항을 aaa, 공비를 rrr라 두면 a2=ar=1a_2=ar=1a2=ar=1이므로 a=1ra=\dfrac1ra=r1입니다. r≠1r\neq1r=1일 때

Sk=a 1−rk1−r=1r⋅1−rk1−r.S_k=a\,\frac{1-r^k}{1-r}=\frac{1}{r}\cdot\frac{1-r^k}{1-r}.Sk=a1−r1−rk=r1⋅1−r1−rk.
주어진 조건을 계산하면

∑k=16(−1)kSk=1r(1−r)∑k=16(−1)k(1−rk)=−1r(1−r)∑k=16(−r)k.\sum_{k=1}^{6}(-1)^k S_k
=\frac{1}{r(1-r)}\sum_{k=1}^{6}(-1)^k(1-r^k)
=-\frac{1}{r(1-r)}\sum_{k=1}^{6}(-r)^k.k=1∑6(−1)kSk=r(1−r)1k=1∑6(−1)k(1−rk)=−r(1−r)1k=1∑6(−r)k.
등비합 공식을 쓰면

∑k=16(−r)k=−r (1−(−r)6)1+r\sum_{k=1}^{6}(-r)^k=\frac{-r\,(1-(-r)^6)}{1+ r}k=1∑6(−r)k=1+r−r(1−(−r)6)
이므로

∑k=16(−1)kSk=1−r6(1−r)(1+r)=1−r61−r2=1+r2+r4.\sum_{k=1}^{6}(-1)^k S_k
=\frac{1-r^6}{(1-r)(1+r)}
=\frac{1-r^6}{1-r^2}
=1+r^2+r^4.k=1∑6(−1)kSk=(1−r)(1+r)1−r6=1−r21−r6=1+r2+r4.
조건이 =21=21=21이므로

1+r2+r4=21⇒r4+r2−20=0.1+r^2+r^4=21\quad\Rightarrow\quad r^4+r^2-20=0.1+r2+r4=21⇒r4+r2−20=0.
y=r2y=r^2y=r2로 두면 y2+y−20=0⇒y=4y^2+y-20=0\Rightarrow y=4y2+y−20=0⇒y=4 (음수 해는 배제). 모든 항이 양수이므로 r=4=2r=\sqrt{4}=2r=4=2. 따라서 a=12a=\dfrac{1}{2}a=21이고

Sn=12(2n−1).S_n=\frac12(2^n-1).Sn=21(2n−1).
원하는 값은

S2+S7=12(22−1)+12(27−1)=12(3+127)=65.S_2+S_7=\frac12(2^2-1)+\frac12(2^7-1)=\frac12(3+127)=65.S2+S7=21(22−1)+21(27−1)=21(3+127)=65.
정답은 656565입니다.