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* 场视作函数空间的变量，积分为： Z=∫Dϕ eiS[ϕ]/ℏZ = \int \mathcal{D}\phi\, e^{iS[\phi]/\hbar}Z=∫DϕeiS[ϕ]/ℏ
* 这是泛函分析中的“测度论 + 高维高斯积分”问题。
* 使用高斯泛函积分技巧： ∫Dϕ e−12ϕAϕ+Jϕ=1det⁡Ae12JA−1J\int \mathcal{D}\phi\, e^{-\frac{1}{2}\phi A \phi + J\phi} = \frac{1}{\sqrt{\det A}} e^{\frac{1}{2} J A^{-1} J}∫Dϕe−21ϕAϕ+Jϕ=detA1e21JA−1J
* 关联函数为泛函导数生成： ⟨ϕ(x1)ϕ(x2)⟩=1Zδ2Z[J]δJ(x1)δJ(x2)∣J=0\langle \phi(x_1)\phi(x_2) \rangle = \frac{1}{Z}\frac{\delta^2 Z[J]}{\delta J(x_1)\delta J(x_2)}\Big|_{J=0}⟨ϕ(x1)ϕ(x2)⟩=Z1δJ(x1)δJ(x2)δ2Z[J]J=0

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===== - '''规范场理论（Gauge theory）本质是纤维丛理论（fiber bundle）'''的物理化。 - 规范场 AμA_\muAμ：联络（connection）； - 场强 FμνF_{\mu\nu}Fμν：曲率（curvature）。 Fμν=∂μAν−∂νAμ+ig[Aμ,Aν]F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + ig[A_\mu, A_\nu]Fμν=∂μAν−∂νAμ+ig[Aμ,Aν] =====
* 规范变换：丛的截面变换。
* 规范协变导数：Dμ=∂μ+igAμD_\mu = \partial_\mu + igA_\muDμ=∂μ+igAμ。

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* Nakahara《Geometry, Topology and Physics》
* Baez & Muniain《Gauge Fields, Knots and Gravity》

===== - 利用微积分与对数标度分析研究参数随能标变化： μdgdμ=β(g)\mu \frac{d g}{d\mu} = \beta(g)μdμdg=β(g) =====
* β函数来源于积分发散的正则化与重整化操作。
* 常用数学： - 维数正则化； - Gamma 函数、ζ 函数； - 渐近展开与对数微分。

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===== - 计算散射矩阵： S=Texp⁡ ⁣(−i∫HI(t) dt)S = T\exp\!\Big(-i\int H_I(t)\,dt\Big)S=Texp(−i∫HI(t)dt) 用Dyson 展开（时序指数）。 =====
* 正规序与 Wick 定理： Wick 定理的数学基础是算符代数与高斯积分展开。