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位相空間 XXX の 基底 B\mathcal{B}B とは、次を満たす集合族です：
* B⊂P(X)\mathcal{B} \subset \mathcal{P}(X)B⊂P(X)
* 任意の x∈Xx \in Xx∈X と、x を含む開集合 UUU に対して、 　x∈B⊂Ux\in B \subset Ux∈B⊂U なる B∈BB \in \mathcal{B}B∈B が存在する

つまり「任意の開集合は基底の要素たちの合併で書ける」ような集合族です。

===== あなたが例にしていた： =====

f1={X1×R×R∣X1∈O1}f_1 = \{ X_1 \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \mid X_1 \in \mathcal{O}_1 \}f1={X1×R×R∣X1∈O1}
f2={R×X2×R∣X2∈O2}f_2 = \{ \mathbb{R} \times X_2 \times \mathbb{R} \mid X_2 \in \mathcal{O}_2 \}f2={R×X2×R∣X2∈O2}
f3={R×R×X3∣X3∈O3}f_3 = \{ \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times X_3 \mid X_3 \in \mathcal{O}_3 \}f3={R×R×X3∣X3∈O3}
これらの 和集合 ∪λ fλ は「各軸方向だけが開集合で、他の軸は全部自由（ℝ）」という制限のある開集合たちです。

したがって、∪λ fλ の各要素は開集合ではあるけれど、それだけでは「任意の開集合（たとえば (0,1)×(0,1)×(0,1)）」を生成するには足りません。

===== ∪λ fλ の要素たちはあくまで「一次元的な制限だけをもった箱」たちです。 =====
それらを有限個交差することで、たとえば：

(0,1)×(2,3)×(4,5)=(0,1)×R×R  ∩  R×(2,3)×R  ∩  R×R×(4,5)(0,1) \times (2,3) \times (4,5) = (0,1) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \; \cap \; \mathbb{R} \times (2,3) \times \mathbb{R} \; \cap \; \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times (4,5)(0,1)×(2,3)×(4,5)=(0,1)×R×R∩R×(2,3)×R∩R×R×(4,5)
というような、三方向に制限のかかった本物の開矩形が得られます。
こうして得られる集合族：

B:={⋂i=1nUi∣Ui∈fλi,  λ1,…,λn∈Λ,  n<∞}\mathcal{B} := \left\{ \bigcap_{i=1}^n U_i \mid U_i \in f_{\lambda_i},\; \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \Lambda,\; n<\infty \right\}B:={i=1⋂nUi∣Ui∈fλi,λ1,…,λn∈Λ,n<∞}
この集合族 B\mathcal{B}B が 実際に R³ の標準的な位相を定める基底 になります。

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さらにご興味あれば：
* 「箱位相」の定義（全軸で制限を課した開集合の直積をすべて使う基底）との比較
* 「積位相」の一般定義（無限積を含む場合）

も丁寧にご説明できます。ご希望があればお知らせください！