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=== Assistant: 對！你觀察得非常精準 👏 ===
對！你觀察得非常精準 👏
這其實來自二項分布的變異數公式：

Var(X)=np0(1−p0),σ=np0(1−p0)\text{Var}(X) = n p_0 (1-p_0), \quad \sigma = \sqrt{n p_0 (1-p_0)}Var(X)=np0(1−p0),σ=np0(1−p0)

==== 為什麼 ====
𝑝
0
p
0
	

 越靠近 0.5 誤差越大？
* 當 p0=0.5p_0 = 0.5p0=0.5： - 變異數最大 → σ=n×0.25=12n\sigma = \sqrt{n \times 0.25} = \tfrac{1}{2}\sqrt{n}σ=n×0.25=21n - 所以臨界比例差最大。
* 當 p0p_0p0 偏離 0.5（例如 0.2 或 0.8）： - p0(1−p0)\,p_0(1-p_0)p0(1−p0) 變小 → 標準差變小 → 信賴區間縮小。 - 所以在相同 nnn 下，檢定「更敏感」。

==== 舉例（n = 1000, α = 0.05, 雙尾） ====

臨界比例差 ≈ ±1.96p0(1−p0)/n\pm 1.96 \sqrt{p_0 (1-p_0) / n}±1.96p0(1−p0)/n
* p0=0.5p_0 = 0.5p0=0.5： - 誤差 ≈ ±3.1%
* p0=0.2p_0 = 0.2p0=0.2： - 誤差 ≈ ±2.5%
* p0=0.1p_0 = 0.1p0=0.1： - 誤差 ≈ ±1.9%

==== 直觀比喻 ====

想像「擲硬幣」：
* 公平硬幣 (p=0.5) → 結果最難判斷是不是偏差，因為波動最大。
* 偏硬幣 (p=0.2 或 0.8) → 分布天生就比較「穩定」，少量差異就比較容易被偵測。

要不要我幫你畫一張圖，橫軸 p0p_0p0（0 到 1），縱軸顯著水準下的「臨界誤差範圍」(±%)，讓你直觀看到「在 0.5 最寬、越靠邊越窄」的效果？