Editing Openai/694231e4-2244-8012-83ef-e82fe0c756eb (section)

=== Eesmärk: samm-sammuline loogika, vigade tuvastus, mudelipõhine mõtlemine, kontrollitav arvuline väljund. ===
Reegel hindajale: kui mudel ei suuda lahendada, peab ta täpselt ütlema kus ja miks (mitte “ei tea”).

==== Linnalaboris on 3 sensorit: A, B, C. Häire käivitub, kui vähemalt kaks kolmest annavad “ALARM”. ====
* P(A annab ALARM) = 0.08
* P(B annab ALARM) = 0.06
* P(C annab ALARM) = 0.05
* Sõltuvus: kui A annab ALARM, siis B annab ALARM tõenäosusega 0.30 (mitte 0.06).
* Sõltuvus: kui A ei anna ALARM, siis B annab ALARM tõenäosusega 0.04.
* C on A-st sõltumatu, aga B-st sõltuv: - Kui B annab ALARM, siis P(C annab ALARM) = 0.12 - Kui B ei anna ALARM, siis P(C annab ALARM) = 0.03

Ülesanne: arvuta P(häire käivitub). Nõue: täissammud, juhtumijaotus, kontroll, et tõenäosused jäävad [0,1].

==== Kaks kasti: ====
* Kast 1: 2 kuldmünti + 1 hõbemünt
* Kast 2: 1 kuldmünt + 2 hõbemünti

Valitakse kast juhuslikult (50/50), seejärel võetakse kastist juhuslik münt.
Sa näed, et münt on kuldne.

Ülesanne: leia P(et valiti Kast 1 | nähtud kuld).
Lisatingimus: kirjelda üks levinud vale intuitiivne põhjendus ja miks see eksib (esimene vigane samm).

==== Lihtsusta avaldis täielikult (domeen: reaalarvud, kuid märgi, kus tuleb lisatingimusi): ====

E(x)=(x2−9)(x−3)−(x2−1)(x−1)+2x2−8x2(x−4)E(x)=\frac{(x^2-9)}{(x-3)}-\frac{(x^2-1)}{(x-1)}+\frac{2x^2-8x}{2(x-4)}E(x)=(x−3)(x2−9)−(x−1)(x2−1)+2(x−4)2x2−8x
Ülesanne:
# Esita lihtsustatud kuju.
# Esita domäänipiirangud (millised x väärtused ei sobi ja miks).
# Näita lühikontrolli (nt asenda üks sobiv x ja võrdle alg- ja lõppavaldis).

==== Andmestikus on 12 mõõtmist: ====
2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 9, 9, 10, 502,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 4,\ 9,\ 9,\ 10,\ 502, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 9, 9, 10, 50

Ülesanne A: arvuta aritmeetiline keskmine, mediaan, trimmitud keskmine 20% (eemalda kummastki otsast 20% andmeid).
Ülesanne B: arvuta samad näitajad juhul, kui eemaldada eeldus “kõik mõõtmised on võrdselt usaldusväärsed” ja antakse info: mõõtmine 50 on instrumentaalne artefakt (eemaldatav).
Ülesanne: näita, kuidas tulemused “drastiliselt” muutuvad, ja põhjenda, milline mõõdik on robustsem.

==== Linn transpordib meditsiinitarvikuid kahe teega: ====
* Tee P: keskmine aeg 32 min, standardhälve 6 min
* Tee Q: keskmine aeg 28 min, standardhälve 10 min

Iga sõit valitakse poliitikaga: 60% P, 40% Q. Eeldus: ajad on normaaljaotusega ja sõltumatud.

Ülesanne:
# Kirjuta see segajaotusena matemaatiliselt.
# Leia oodatav väärtus ja dispersioon (kasuta kogutõenäosust / total variance).
# Leia P(aeg > 45 min) (täpsusta, mida eeldad ja kuidas arvutad).

==== Anduril on false positive määr α=0.03\alpha = 0.03α=0.03 ja true positive määr 1−β=0.921-\beta = 0.921−β=0.92. ====
Baassagedus (päris rike) on p=0.01p = 0.01p=0.01.

Ülesanne: arvuta P(pa¨ris rike∣ALARM)P(\text{päris rike} \mid \text{ALARM})P(pa¨ris rike∣ALARM).
Nõue: Bayesi valem sammhaaval, lõppvastus 4 kümnendkohani.

==== Probleem: “Leia x, kui x+9=x−3\sqrt{x+9} = x-3x+9=x−3.” ====

Antud (vale) lahendus:
# Ruudustame: x+9=x2−6x+9x+9 = x^2 - 6x + 9x+9=x2−6x+9
# Taandame: 0=x2−7x0 = x^2 - 7x0=x2−7x
# Faktoreerime: 0=x(x−7)0 = x(x-7)0=x(x−7)
# Seega x=0x=0x=0 või x=7x=7x=7
# Mõlemad sobivad, sest ruudustamine on lubatud.

Ülesanne:
* Leia esimene viga (konkreetne samm).
* Paranda lahendus.
* Selgita, miks sellised vead tekivad (lühidalt).

==== Arvuta stabiilselt (väldi katastroofilist tühistumist): ====

F(ϵ)=1+ϵ−1ϵF(\epsilon)=\frac{\sqrt{1+\epsilon}-1}{\epsilon}F(ϵ)=ϵ1+ϵ−1
a) Leia piiritlus, kui ϵ→0\epsilon \to 0ϵ→0.
b) Anna ümberkirjutus, mis on numbriliselt stabiilsem väikeste ϵ\epsilonϵ korral.
c) Testi ϵ=10−8\epsilon = 10^{-8}ϵ=10−8 ja näita, miks naiivne kuju võib ebaõnnestuda (kontseptuaalselt; ei pea arvutama masinapsühholoogia tasemel).