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=== Ⅱ. Kac–Rice ルート：停留点の指数的多数と SUSY 破れ ===

==== Ⅱ-1. 停留点の期待個数（Kac–Rice） ====

球面上の ppp-spin ハミルトニアン H(s)H(\mathbf s)H(s)（∥s∥2=N\|\mathbf s\|^2=N∥s∥2=N）に対し、エネルギー密度 e=H/Ne=H/Ne=H/N で停留点（∇H=0\nabla H=0∇H=0）の期待個数は

E N(e)=E ⁣[∫ds  δ(∇H)  ∣det⁡∇2H∣  δ ⁣(H−Ne)].(8)\mathbb E\,\mathcal N(e)
=\mathbb E\!\left[
\int d\mathbf s\;\delta(\nabla H)\;
\big|\det \nabla^2 H\big|\;
\delta\!\big(H-N e\big)
\right].
\tag{8}EN(e)=E[∫dsδ(∇H)det∇2Hδ(H−Ne)].(8)
ガウス統計の HHH では、勾配とヘッセ行列は GOE 変数と独立に扱え、大 NNN で

E N(e)  ≍  exp⁡ ⁣{N ΣKR(e)},(9)\boxed{
\mathbb E\,\mathcal N(e)\;\asymp\;\exp\!\big\{N\,\Sigma_{\rm KR}(e)\big\},
}
\tag{9}EN(e)≍exp{NΣKR(e)},(9)
という指数則（複雑度 ΣKR(e)\Sigma_{\rm KR}(e)ΣKR(e)）が出ます。極小・鞍点の指数別個数 Nk(e)\mathcal N_k(e)Nk(e) についても同様で、それぞれ Σk(e)\Sigma_k(e)Σk(e) が得られます。

==== Ⅱ-2. SUSY 表式と「符号付き」計数 ====

(8) の ∣det⁡∣|\det|∣det∣ をSUSY で表すと

∣det⁡∇2H∣  =  det⁡∇2H⏟∫ ⁣Dψ Dψˉ e−ψˉ⊤(∇2H)ψ×sgndet⁡∇2H⏟Morse 指標.(10)\big|\det \nabla^2 H\big|
\;=\;
\underbrace{\det \nabla^2 H}_{\displaystyle
\int \! \mathcal D\psi\,\mathcal D\bar\psi\,e^{-\bar\psi^\top(\nabla^2 H)\psi}
}\times
\underbrace{{\rm sgn}\det\nabla^2 H}_{\text{Morse 指標}}.
\tag{10}det∇2H=∫DψDψˉe−ψˉ⊤(∇2H)ψdet∇2H×Morse 指標sgndet∇2H.(10)
SUSY（BRST）Ward が完全に成り立つ状況では、「符号付き」計数

χ  ≡  ∫ds δ(∇H)  det⁡∇2H(11)\chi \;\equiv\; \int d\mathbf s\,\delta(\nabla H)\;\det \nabla^2 H
\tag{11}χ≡∫dsδ(∇H)det∇2H(11)
（＝Witten 指数＝マニフォールドのオイラー標数に等しい）が保存量として働き、ボソン・フェルミオンの相殺で指数的増殖が抑えられる（χ\chiχ は O(1)\mathcal O(1)O(1)）。

ところがSUSY が破れると、(10) の相殺が崩れ、∣det⁡∣|\det|∣det∣ と det⁡\detdet の差（符号の偏り）が有意になり、

E N(e)  ∝  E ⁣[∫δ(∇H) det⁡∇2H]×⟨sgndet⁡∇2H⟩−1⏟SUSY 破れで非自明  ≍  eNΣ(e).(12)\mathbb E\,\mathcal N(e)
\;\propto\;
\mathbb E\!\left[\int \delta(\nabla H)\,\det\nabla^2 H\right]
\times \underbrace{\Big\langle {\rm sgn}\det\nabla^2 H\Big\rangle^{-1}}_{\text{SUSY 破れで非自明}}
\;\asymp\; e^{N\Sigma(e)}.
\tag{12}EN(e)∝E[∫δ(∇H)det∇2H]×SUSY 破れで非自明⟨sgndet∇2H⟩−1≍eNΣ(e).(12)
要点は：SUSY が成り立つと「符号付き」合計＝トポロジカル定数になり、指数的増殖が打ち消される。SUSY 破れでその打消しが失効し、∣det⁡∣|\det|∣det∣ の絶対値が効いて Σ(e)>0\Sigma(e)>0Σ(e)>0（指数的多数）が露出します。

==== Ⅱ-3. GOE 固有値の大偏差と指数的多数 ====

ΣKR(e)\Sigma_{\rm KR}(e)ΣKR(e) は、ヘッセ行列 ∇2H\nabla^2 H∇2H の固有値分布（GOE のシフト）ρ(λ)\rho(\lambda)ρ(λ) の大偏差汎関数を極値化して得られます。略記すると

ΣKR(e)=extrμ,ρ{−μ22σ2(e)+∫dλ  ρ(λ) ln⁡∣λ+μ∣−I[ρ]}+const(e),(13)\Sigma_{\rm KR}(e)
= \underset{\mu,\rho}{\rm extr}\left\{
-\frac{\mu^2}{2\sigma^2(e)}
+\int d\lambda\;\rho(\lambda)\,\ln|\lambda+\mu|
-\mathcal I[\rho]
\right\}
+\text{const}(e),
\tag{13}ΣKR(e)=μ,ρextr{−2σ2(e)μ2+∫dλρ(λ)ln∣λ+μ∣−I[ρ]}+const(e),(13)
ここで μ\muμ は勾配拘束由来のラグランジュ乗数、I[ρ]\mathcal I[\rho]I[ρ] は GOE の速度関数。極小のみ数えるには ρ\rhoρ を下端が正になるよう拘束。ガラス相では極小や鞍点の Σk(e)\Sigma_k(e)Σk(e) が正となり、(9) が成り立ちます。これは (11) のトポロジカル不変量では制御できない「絶対値の効果＝SUSY 破れの帰結」です。