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==== Ⅰ-1. 「状態」を数える生成汎関数 ====

スピングラス（SK や球面 ppp-spin）で、TAP 自由エネルギー FTAP(m)F_{\rm TAP}(\mathbf m)FTAP(m) の停留点

∂FTAP∂mi=0\frac{\partial F_{\rm TAP}}{\partial m_i}=0∂mi∂FTAP=0
を「状態（準安定解）α\alphaα」と呼び、その自由エネルギー密度を fα=FTAP(mα)/Nf_\alpha=F_{\rm TAP}(\mathbf m^\alpha)/Nfα=FTAP(mα)/N とします。複雑度（状態数の指数レート）

Σ(f)  ≡  lim⁡N→∞1Nln⁡N(f),N(f)=∑αδ ⁣(f−fα)\Sigma(f) \;\equiv\; \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\ln \mathcal N(f),
\qquad
\mathcal N(f)=\sum_\alpha \delta\!\big(f-f_\alpha\big)Σ(f)≡N→∞limN1lnN(f),N(f)=α∑δ(f−fα)
を求めたい。

Monasson の「束縛レプリカ」生成関数を入れます：

Zm  ≡  ∑αe−βmNfα  =  ∫ ⁣Dm Dψ Dψˉ Dx  exp⁡ ⁣[−Sm(m,ψ,ψˉ,x)].(1)Z_m \;\equiv\; \sum_\alpha e^{-\beta m N f_\alpha}
\;=\; \int \! \mathcal D\mathbf m\,\mathcal D\psi\,\mathcal D\bar\psi\,\mathcal D\mathbf x\;
\exp\!\Big[-S_m(\mathbf m,\psi,\bar\psi,\mathbf x)\Big].
\tag{1}Zm≡α∑e−βmNfα=∫DmDψDψˉDxexp[−Sm(m,ψ,ψˉ,x)].(1)
ここで（TAP 停留点を δ\deltaδ-拘束し、Jacobian をグラスマンで表す）

Sm=βm FTAP(m)+i x ⁣⋅ ⁣∇FTAP(m)+ψˉ⊤ ⁣(∇2FTAP(m))ψ.(2)S_m
= \beta m\,F_{\rm TAP}(\mathbf m)
+ i\,\mathbf x\!\cdot\!\nabla F_{\rm TAP}(\mathbf m)
+ \bar\psi^\top \!\big(\nabla^2 F_{\rm TAP}(\mathbf m)\big)\psi.
\tag{2}Sm=βmFTAP(m)+ix⋅∇FTAP(m)+ψˉ⊤(∇2FTAP(m))ψ.(2)
x\mathbf xx は補助ボソン、ψ,ψˉ\psi,\bar\psiψ,ψˉ はグラスマン。これは BRST 型 SUSY を持つ（δm=ϵ ψ\delta \mathbf m=\epsilon\,\psiδm=ϵψ, δψˉ=ϵ ix\delta\bar\psi=\epsilon\, i\mathbf xδψˉ=ϵix, …）。

自由エネルギー（レプリカ拘束ポテンシャル）を

ϕ(m)  ≡  −1βmNln⁡Zm(3)\phi(m) \;\equiv\; -\frac{1}{\beta m N}\ln Z_m
\tag{3}ϕ(m)≡−βmN1lnZm(3)
と定義すると、{f,Σ}\{f,\Sigma\}{f,Σ} はレジェンドル関係で得られる：

f(m)=∂∂m[m ϕ(m)],Σ(f(m))=βm2 ∂ϕ(m)∂m.(4)\boxed{
f(m)=\frac{\partial}{\partial m}\big[m\,\phi(m)\big],\qquad
\Sigma\big(f(m)\big)=\beta m^2\,\frac{\partial \phi(m)}{\partial m}.
}
\tag{4}f(m)=∂m∂[mϕ(m)],Σ(f(m))=βm2∂m∂ϕ(m).(4)
* 熱平衡に対応する m=1m=1m=1 で SUSY が保たれていると、Ward 恒等式により Σ=0\Sigma=0Σ=0（状態数は指数的に増えない）。
* ガラス相・RSB 相では、m<1m<1m<1 の 1RSB 解が支配し、SUSY Ward が破れて ∂mϕ≠0\partial_m\phi\neq 0∂mϕ=0 が現れ、Σ>0\Sigma>0Σ>0 となる（指数的多数の状態）。