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=== Assistant: 이 문장은 굉장히 흥미로운 “소수의 군형群形” 혹은 “진법 교차 표현에 따른 불변성”에 관한 추상적인 정의로 보입니다. ===
이 문장은 굉장히 흥미로운 “소수의 군형(群形)” 혹은 “진법 교차 표현에 따른 불변성”에 관한 추상적인 정의로 보입니다.
이를 수학적으로 정제하면 다음과 같은 구조로 해석할 수 있습니다.

==== 서로 다른 두 소수 a,ba, ba,b 가 있다고 하자. ====
정수를 다음과 같이 교차 진법 표현군(dual-base group) 으로 나타낸다.
* Group Gn(a,b)G_n^{(a,b)}Gn(a,b) : 숫자의 일의 자리를 aaa진법, 십의 자리를 bbb진법으로 표현한 수들의 집합 → 즉, “(십의 자리 b진법, 일의 자리 a진법)”의 혼합 진법 표현.
* Group Gn(b,a)G_n^{(b,a)}Gn(b,a) : 위와 반대로 일의 자리를 bbb진법, 십의 자리를 aaa진법으로 표현한 수들의 집합.

==== : ====

이를 수식으로 표현하면,
각 자리의 차를 벡터로 정의하여 다음이 성립한다는 뜻입니다:

v⃗n(a,b)=digitwise difference(Gn(a,b)−Gn−1(a,b))v⃗n(b,a)=digitwise difference(Gn(b,a)−Gn−1(b,a))\vec{v}_n^{(a,b)} = \text{digitwise difference}(G_n^{(a,b)} - G_{n-1}^{(a,b)}) \\
\vec{v}_n^{(b,a)} = \text{digitwise difference}(G_n^{(b,a)} - G_{n-1}^{(b,a)})vn(a,b)=digitwise difference(Gn(a,b)−Gn−1(a,b))vn(b,a)=digitwise difference(Gn(b,a)−Gn−1(b,a))
그리고 다음 조건이 주어진 것:

v⃗n(a,b)=v⃗n(b,a)\vec{v}_n^{(a,b)} = \vec{v}_n^{(b,a)}vn(a,b)=vn(b,a)
즉, 진법 교차 후에도 자리수 차 벡터가 불변한다는 뜻입니다.

==== 이 조건은 일종의 “소수 진법 쌍 불변성”을 말합니다. ====
즉, 서로 다른 두 소수 a,ba,ba,b 에 대해서:
* 진법의 자리를 서로 바꾸어도,
* 연속된 두 군 nnn, n−1n-1n−1 간의 자리수 차 벡터는 변하지 않는다.

이는 다음과 같은 성질을 암시합니다:
# 대칭성 (Symmetry): a,ba,ba,b 를 교환해도 구조가 보존됨.
# 모듈러 불변성 (Modular Invariance): 자리수 차가 특정 모듈러(예: 최소공배수 lcm(a,b)\text{lcm}(a,b)lcm(a,b)) 하에서 불변.
# 소수 군의 자기동형사상 (Automorphism): 이 시스템은 (a,b)↔(b,a)(a,b) \leftrightarrow (b,a)(a,b)↔(b,a) 의 교환이 자기동형(automorphism)으로 작용하는 군 형태를 이룸.

==== 예를 들어 a=3,b=5a=3, b=5a=3,b=5 라고 하자. ====
* G1(3,5)G_1^{(3,5)}G1(3,5) = “십의 자리 5진, 일의 자리 3진”으로 표현된 첫 번째 수군
* G2(3,5)G_2^{(3,5)}G2(3,5) = 다음 수군
* 이 둘의 자리수 차를 구하면 v⃗2(3,5)\vec{v}_2^{(3,5)}v2(3,5)

이제 반대인 G1(5,3)G_1^{(5,3)}G1(5,3), G2(5,3)G_2^{(5,3)}G2(5,3) 를 계산하고,
자리수 차 v⃗2(5,3)\vec{v}_2^{(5,3)}v2(5,3) 를 구했을 때

v⃗2(3,5)=v⃗2(5,3)\vec{v}_2^{(3,5)} = \vec{v}_2^{(5,3)}v2(3,5)=v2(5,3)
이면, 이 두 소수쌍 (3,5)는 불변성을 만족하는 “소수쌍 진법군”입니다.

==== 정의: ====
서로 다른 소수 a,ba,ba,b 에 대해

v⃗n(a,b)=v⃗n(b,a)∀n∈N\vec{v}_n^{(a,b)} = \vec{v}_n^{(b,a)} \quad \forall n \in \mathbb{N}vn(a,b)=vn(b,a)∀n∈N
을 만족할 때,
그 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)를 “교차 진법 불변 소수쌍(cross-base invariant prime pair)”이라 한다.

원하신다면, 제가 이 정의를 바탕으로 예를 들어 a=3,b=5a=3,b=5a=3,b=5 일 때 실제로 n=1~5에 대해 불변성이 성립하는지 계산해드릴 수도 있습니다.
계속 진행할까요?