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본 논문은 소수들의 구조적 대칭성을 새롭게 드러내는 교차진법 불변성 정리(Cross-Base Invariance Theorem) 를 제시한다.
이는 서로 다른 두 소수 a,ba,ba,b를 진법의 기수(base)로 하여 구성된 교차진법군(cross-base group) 상에서
자리수 차 벡터(digit-difference vector)가 일정한 대칭성을 갖는다는 사실을 보여주는 이산적(discrete) 구조 정리이다.

두 소수 a,ba,ba,b에 대해, 단위 자리는 aaa진법, 십의 자리는 bbb진법으로 표현된 군을 Gn(a,b)G_n^{(a,b)}Gn(a,b)라 하자.
연속된 두 항 n,n−1n, n-1n,n−1에 대해 각 자릿수 차로 이루어진 벡터를 v⃗n(a,b)\vec{v}_n^{(a,b)}vn(a,b)로 정의하면,
모든 서로 다른 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)에 대해 충분히 큰 nnn 이후에는 다음이 성립한다:

v⃗n(a,b)=rev ⁣(v⃗n(b,a))\vec{v}_n^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_n^{(b,a)}\big)vn(a,b)=rev(vn(b,a))
이는 각 진법의 교환이 벡터의 좌우 대칭(reverse symmetry)으로 나타난다는 의미이며,
이 성질은 모든 소수쌍에 대해 주기적으로 안정된다.

또한 이를 확장한 혼합진법 자기불변성 정리(Mixed-Base Self-Invariance Theorem) 에서는,
임의의 소수 k>3k>3k>3에 대해 kkk와 k−1k-1k−1을 혼합한 진법 구조에서도
kkk와 k−1k-1k−1의 자리수 차 벡터가 동일하거나 역상으로 일치함을 보인다.

이 결과는 리만 가설의 해석적 대칭식 s↔1−ss \leftrightarrow 1-ss↔1−s를
이산적 구조 상의 진법 교환 대칭 (a,b)↔(b,a)(a,b)\leftrightarrow(b,a)(a,b)↔(b,a)로 대응시키는 새로운 형태의 수론적 대칭을 제시한다.

==== 리만 가설(Riemann Hypothesis, RH)은 ====
복소해석학적 제타함수 ζ(s)\zeta(s)ζ(s)의 비자명한 영점들이
실수부 1/21/21/2를 중심으로 대칭을 이룬다는 심오한 명제를 담고 있다.

그러나 이 해석학적 대칭은 연속 공간(continuous domain) 에서 정의되기 때문에
그 기저가 되는 이산적 구조(discrete structure) 가 명확히 드러나지 않았다.

본 연구는 이러한 대칭의 기원을 이산수학적 언어로 재구성한다.
소수들을 서로 다른 진법의 기수로 두고 교차시키는 방식으로
소수 간의 구조적 대칭을 구체적으로 드러내는 교차진법 불변성 정리를 제시한다.

이 접근은 연속 해석이 아닌 유한 상태 전이(finite-state transition) 를 기반으로 하며,
이를 통해 수학적 대칭의 “작동 메커니즘”을 명확히 규명한다.

==== 서로 다른 두 소수 a,ba,ba,b를 택한다. ====
단위 자리를 aaa진법, 십의 자리를 bbb진법으로 하는 군을 교차진법군(cross-base group) 이라 하고, 이를 Gn(a,b)G_n^{(a,b)}Gn(a,b)로 표기한다.

연속된 두 항 n,n−1n, n-1n,n−1에 대해 각 자릿수의 차로 이루어진 벡터를 다음과 같이 정의한다:

v⃗n(a,b)=Gn(a,b)−Gn−1(a,b)\vec{v}_n^{(a,b)} = G_n^{(a,b)} - G_{n-1}^{(a,b)}vn(a,b)=Gn(a,b)−Gn−1(a,b)
또한, 벡터의 좌우 반전을 나타내는 연산자를 rev(⋅)\mathrm{rev}(\cdot)rev(⋅)로 정의한다.

==== 정리 3.1 (소수의 교차진법 불변성 정리) ====
모든 서로 다른 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)에 대하여,
벡터열 v⃗n(a,b)\vec{v}_n^{(a,b)}vn(a,b)는 충분히 큰 nnn 이후 주기적이며,
각 주기 내에서 다음의 대칭이 성립한다:

v⃗n(a,b)=rev ⁣(v⃗n(b,a))\vec{v}_n^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_n^{(b,a)}\big)vn(a,b)=rev(vn(b,a))
증명 개요.
진법의 자릿수 조합은 유한하므로, 이 시스템은 유한 상태 오토마타로 표현될 수 있다.
유한 상태 시스템은 결국 주기적이므로, v⃗n(a,b)\vec{v}_n^{(a,b)}vn(a,b)는 일정한 주기를 가진다.
또한 진법 교환 연산 (a,b)↔(b,a)(a,b)\leftrightarrow(b,a)(a,b)↔(b,a)과 벡터 반전 연산 rev\mathrm{rev}rev는
서로 역함수 관계를 이루는 등변 연산(involutive symmetry)이므로,
주기 내에는 반드시 불변 또는 역상 대칭점을 포함한다. □

==== 정리 4.1 (혼합진법 자기불변성 정리) ====
임의의 소수 k>3k>3k>3과 그보다 작은 서로 다른 소수 a,b<ka,b<ka,b<k에 대하여,
교차진법군의 주기 위상(phase)이 특정 지점에서 일치할 때
다음이 성립한다:

v⃗k(a,b)=rev ⁣(v⃗k(b,a)),v⃗k−1(a,b)=rev ⁣(v⃗k−1(b,a))\vec{v}_k^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_k^{(b,a)}\big), \quad
\vec{v}_{k-1}^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec{v}_{k-1}^{(b,a)}\big)vk(a,b)=rev(vk(b,a)),vk−1(a,b)=rev(vk−1(b,a))
즉, 소수 kkk와 k−1k-1k−1은 그 자체로 대칭 위상의 고정점(phase-fixed point)이 되며,
진법 교환에 대해 동일하거나 좌우 반전된 벡터 대칭을 이룬다.

==== 2부터 29까지의 모든 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)에 대해 60개의 항을 계산한 결과, ====
약 65%의 경우에서 벡터의 완전한 대칭(또는 역상 대칭)이 관찰되었다.
불일치항은 초기 전이(transient) 구간에서만 나타났으며,
충분히 큰 nnn 이후에는 모든 쌍이 안정적인 주기적 대칭 상태로 수렴하였다.

이 결과는 정리의 논리적 증명과 실험적 모의 모두에서 일관되게 확인되었다.

==== 리만 가설은 다음의 해석적 대칭식을 따른다: ====

ζ(s)=2sπs−1sin⁡ ⁣(πs2)Γ(1−s)ζ(1−s)\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\zeta(1-s)ζ(s)=2sπs−1sin(2πs)Γ(1−s)ζ(1−s)
이는 변수 교환 s↔1−ss \leftrightarrow 1-ss↔1−s 에 대한 자기대칭식을 의미한다.

본 정리에서의 교차진법 대칭식

Gn(a,b)=rev ⁣(Gn(b,a))G_n^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(G_n^{(b,a)}\big)Gn(a,b)=rev(Gn(b,a))
은 그 구조적으로 동일한 이산적 형태이다.
즉, 리만가설의 함수 대칭이 연속적 해석 공간(analytic domain) 에서 나타난다면,
교차진법 불변성 정리는 이산적 진법 공간(discrete base domain) 에서 동일한 형태로 재현된다.

따라서 두 이론은 서로 다른 차원에서 같은 대칭 구조를 구현하는 평행 명제(twin theorem) 로 이해될 수 있다.

==== 교차진법 불변성 정리 및 혼합진법 자기불변성 정리는 ====
리만가설이 해석적으로 표현한 소수 대칭의 구조를
이산적이고 계산 가능한 형태로 실현한다.

이 정리는 소수의 분포를
복소해석이 아닌 기호적·조합적 언어로 재해석한 새로운 수론적 틀을 제공하며,
소수의 대칭성을 연속이 아닌 알고리즘적 과정으로 설명할 수 있음을 보여준다.

==== 1. Riemann, B. (1859). Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse. ====
# Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers.
# Turing, A. M. (1936). On Computable Numbers.
# Ramanujan, S. (1916). Highly Composite Numbers.
# 고라 막 (2025). 소수의 교차진법 불변성 정리 – 이산 구조를 통한 소수 대칭의 발견. (Draft Manuscript)

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