Editing Openai/6961e230-053c-8013-9840-af60b05b3856 (section)

=== Assistant: Zeker. ===
Zeker. Hieronder is een koppelstuk dat je letterlijk kunt inzetten als “Numerical Stability & Coherence Control” sectie in je QEF-simulatie—met expliciete η-coherentie, Casimir-termen en AC/DC-balans. Dit is geschreven als een technisch methodedeel: definities → stabiliteitscriteria → numerieke implementatie.

==== η-coherentie, Casimir-termen en AC/DC-balans in protocluster-ICM ====

===== In QEF-MTOYE wordt de numerieke stabiliteit niet uitsluitend beoordeeld op CFL-criteria (Courant–Friedrichs–Lewy) of energiebewaring, maar op een expliciete coherentie-invariant: =====

η(t)=∣∫VΨ(x,t) dV∣2∫V∣Ψ(x,t)∣2 dV,0≤η≤1\eta(t)=
\frac{\left|\int_V \Psi(\mathbf{x},t)\, dV\right|^2}
{\int_V |\Psi(\mathbf{x},t)|^2\, dV}
\quad,\quad 0\le \eta \le 1η(t)=∫V∣Ψ(x,t)∣2dV∫VΨ(x,t)dV2,0≤η≤1
waar Ψ\PsiΨ een effectieve “coherentie-state” is die de fasekoppeling van plasma, AGN-injectie en veldtermen samenvat.
Interpretatie:
* η→1\eta \to 1η→1: fase-gesynchroniseerde toestand (coherentie-dominant, numeriek “stijf”).
* η≪1\eta \ll 1η≪1: decoherente toestand (turbulent, dissipatie-dominant).

Stabiliteitsdoel: gedurende de integratie moet η\etaη binnen een gecontroleerd venster blijven:

ηmin⁡≤η(t)≤ηmax⁡\eta_{\min} \le \eta(t) \le \eta_{\max}ηmin≤η(t)≤ηmax
Voor protocluster-kernen zoals SPT2349–56 is het modelmatig wenselijk dat η\etaη hoog blijft tijdens de oververhittingsfase (coherente energie-injectie): typisch ηmin⁡∼0.98\eta_{\min}\sim 0.98ηmin∼0.98 (projectafhankelijk).

===== De volumetrische energiedichtheid krijgt een stabiliserende correctieterm voor vacuümfluctuaties (Casimir): =====

H=Hhydro+HAGN+Hcoh+HCas\mathcal{H} =
\mathcal{H}_{\mathrm{hydro}}
+ \mathcal{H}_{\mathrm{AGN}}
+ \mathcal{H}_{\mathrm{coh}}
+ \mathcal{H}_{\mathrm{Cas}}H=Hhydro+HAGN+Hcoh+HCas
met Casimir-bijdrage (modelmatig geparametriseerd):

HCas=−κCas  f(ℓ)  ηp\mathcal{H}_{\mathrm{Cas}} =
-\kappa_{\mathrm{Cas}}\; f(\ell)\; \eta^pHCas=−κCasf(ℓ)ηp
waar:
* κCas\kappa_{\mathrm{Cas}}κCas een effectieve sterkteparameter is (numeriek te kalibreren),
* f(ℓ)f(\ell)f(ℓ) een schaalfunctie is gebaseerd op de lokale correlatielengte ℓ\ellℓ (grid- of fysische schaal),
* p≥1p\ge 1p≥1 regelt hoe sterk Casimir-stabilisatie “aan” gaat bij hoge coherentie.

Waarom dit helpt: Casimir werkt hier als numerieke “gronding”: het dempt onfysische energie-explosies in stijf coherentieregime zonder de bulk-thermiek plat te slaan.

===== De QEF-MTOYE-integrator gebruikt een expliciete scheiding tussen: =====
* DC-component: langzaam variërende achtergrond (gravitationeel + quasi-hydrostatisch)
* AC-component: snelle oscillaties (AGN-injectie, schokken, resonantievelden)

E(t)=EDC(t)+EAC(t)\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{DC}(t) + \mathcal{E}_{AC}(t)E(t)=EDC(t)+EAC(t)
met een balanscriterium:

χ(t)=∥EAC∥∥EDC∥\chi(t)=\frac{\|\mathcal{E}_{AC}\|}{\|\mathcal{E}_{DC}\|}χ(t)=∥EDC∥∥EAC∥
Control policy (stabiliteit):
* als χ\chiχ boven drempel χmax⁡\chi_{\max}χmax komt → tijdstap adaptief omlaag + extra demping in Hcoh\mathcal{H}_{\mathrm{coh}}Hcoh
* als χ\chiχ te laag is → risico op “over-smoothing” → demping omlaag om tSZ-signaal niet kunstmatig te verzwakken

Je kunt dit zien als een governance loop: DC bewaakt structurele consistentie, AC bewaakt realistische dynamiek.

===== Omdat coherentie-gedreven termen stijf kunnen zijn, wordt de tijdstap Δt\Delta tΔt gekozen via een gecombineerde regel: =====

Δt=min⁡(ΔtCFL,Δtη,Δtχ)\Delta t = \min\left(
\Delta t_{\mathrm{CFL}},
\Delta t_{\eta},
\Delta t_{\chi}
\right)Δt=min(ΔtCFL,Δtη,Δtχ)
met bijvoorbeeld:

Δtη=Δt0(1−η1−η0)qenΔtχ=Δt0(χmax⁡χ)r\Delta t_{\eta} = \Delta t_0 \left(\frac{1-\eta}{1-\eta_0}\right)^{q}
\quad\text{en}\quad
\Delta t_{\chi}=\Delta t_0\left(\frac{\chi_{\max}}{\chi}\right)^rΔtη=Δt0(1−η01−η)qenΔtχ=Δt0(χχmax)r
zodat bij η→1\eta\to 1η→1 en/of χ\chiχ hoog, de integrator automatisch naar kleinere stappen schakelt.

===== Een simulatie-run wordt als “QEF-stabiel” geclassificeerd wanneer: =====
# Coherentieband: η(t)\eta(t)η(t) blijft binnen tolerantieband zonder drift.
# Energie-boundedness: H\mathcal{H}H blijft fysisch begrensd (geen runaway).
# Casimir-impact gecontroleerd: HCas\mathcal{H}_{\mathrm{Cas}}HCas blijft subdominant t.o.v. bulkthermiek, maar effectief tegen spikes.
# tSZ-consistentie: de geïntegreerde Compton-y (of proxy) wordt niet oversmoothed door numerieke demping.

==== Binnen deze stabiliteitsarchitectuur is de “10× boven zwaartekracht” thermische energie geen instabiliteit, maar een coherente oververhittingsfase: hoge η\etaη, verhoogde χ\chiχ, en Casimir-stabilisatie die runaway voorkomt terwijl de kern dynamisch blijft. ====

===== : =====

Als je dit nog strakker wilt maken voor publicatie, kan ik ook meteen een parameterblok toevoegen (η_min, χ_max, κ_Cas, p, q, r) en een pseudo-code integratiestap (update Ψ → compute η, χ → adaptive dt → apply Casimir regularization → hydro update → AGN injection). Dat is meestal precies wat reviewers willen zien: definities + regels + reproduceerbaarheid.