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=== Assistant: 정답: −6\boxed{-6}−6 ===
정답: −6\boxed{-6}−6

설명은 핵심만 정리하겠습니다.
# 관계식과 도함수

f(x)=g(x)−tan⁡g(x)⟹f′(x)=g′(x)−sec⁡2 ⁣g(x) g′(x)=−g′(x)tan⁡2 ⁣g(x).(1)f(x)=g(x)-\tan g(x)\quad\Longrightarrow\quad
f'(x)=g'(x)-\sec^{2}\!g(x)\,g'(x)=-g'(x)\tan^{2}\!g(x).
\tag{1}f(x)=g(x)−tang(x)⟹f′(x)=g′(x)−sec2g(x)g′(x)=−g′(x)tan2g(x).(1)
# x=0x=0x=0에서 조건 f(0)=0f(0)=0f(0)=0이므로 g(0)−tan⁡g(0)=0⇒tan⁡g(0)=g(0)g(0)-\tan g(0)=0\Rightarrow \tan g(0)=g(0)g(0)−tang(0)=0⇒tang(0)=g(0). (1)을 x=0x=0x=0에 대입하면

f′(0)=−g′(0)tan⁡2g(0)=−g′(0) g(0)2⟹g′(0) g(0)2=− f′(0).(2)f'(0)=-g'(0)\tan^{2}g(0)=-g'(0)\,g(0)^{2}
\quad\Longrightarrow\quad
g'(0)\,g(0)^{2}=-\,f'(0).
\tag{2}f′(0)=−g′(0)tan2g(0)=−g′(0)g(0)2⟹g′(0)g(0)2=−f′(0).(2)
따라서 물음값은 −f′(0)-f'(0)−f′(0)만 구하면 됩니다.
# x=πx=\pix=π에서의 조건으로 fff의 계수 결정 fff는 삼차다항식이므로 f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d. (가) f′′(π)=0⇒6aπ+2b=0⇒b=−3aπf''(\pi)=0\Rightarrow 6a\pi+2b=0\Rightarrow b=-3a\pif′′(π)=0⇒6aπ+2b=0⇒b=−3aπ. (나) sin⁡g(π)=0⇒g(π)=nπ (n∈Z)\sin g(\pi)=0\Rightarrow g(\pi)=n\pi\ (n\in\mathbb{Z})sing(π)=0⇒g(π)=nπ (n∈Z). 이때 tan⁡g(π)=0\tan g(\pi)=0tang(π)=0이므로

f(π)=g(π)−tan⁡g(π)=nπ.f(\pi)=g(\pi)-\tan g(\pi)=n\pi.f(π)=g(π)−tang(π)=nπ.
또한 (1)로부터 f′(π)=−g′(π)tan⁡2g(π)=0f'(\pi)=-g'(\pi)\tan^{2}g(\pi)=0f′(π)=−g′(π)tan2g(π)=0이므로

f′(π)=3aπ2+2bπ+c=0⇒c=3aπ2.f'(\pi)=3a\pi^{2}+2b\pi+c=0\Rightarrow c=3a\pi^{2}.f′(π)=3aπ2+2bπ+c=0⇒c=3aπ2.
따라서

f(π)=aπ3+bπ2+cπ=aπ3−3aπ3+3aπ3=aπ3=nπ⇒a=nπ2.f(\pi)=a\pi^{3}+b\pi^{2}+c\pi
=a\pi^{3}-3a\pi^{3}+3a\pi^{3}=a\pi^{3}=n\pi
\Rightarrow a=\frac{n}{\pi^{2}}.f(π)=aπ3+bπ2+cπ=aπ3−3aπ3+3aπ3=aπ3=nπ⇒a=π2n.
# lim⁡x→∞g(x)=3π2\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{3\pi}{2}x→∞limg(x)=23π로부터 nnn 결정 함수 h(u)=u−tan⁡uh(u)=u-\tan uh(u)=u−tanu는 각 구간 (π2+kπ, 3π2+kπ)(\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+k\pi)(2π+kπ, 23π+kπ)에서 단조감소로 R\mathbb{R}R에 대한 전단사입니다. lim⁡x→∞g(x)=3π2\lim_{x\to\infty}g(x)=\frac{3\pi}{2}limx→∞g(x)=23π이 성립하려면 xxx가 커질수록 g(x)g(x)g(x)가 구간 (3π2, 5π2)(\frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2})(23π, 25π) 쪽에서 3π2\frac{3\pi}{2}23π로 접근해야 하고, 이때 f(x)=g(x)−tan⁡g(x)f(x)=g(x)-\tan g(x)f(x)=g(x)−tang(x)는 x→∞x\to\inftyx→∞에서 +∞+\infty+∞로 가야 합니다. 따라서 fff의 최고차계수 a>0a>0a>0, 곧 n>0n>0n>0. 또 x=πx=\pix=π에서 g(π)=nπg(\pi)=n\pig(π)=nπ가 위 구간 (3π2, 5π2)(\frac{3\pi}{2},\ \frac{5\pi}{2})(23π, 25π) 안에 있어야 하므로 가능한 정수는 n=2n=2n=2뿐입니다. 결론적으로 a=2π2a=\dfrac{2}{\pi^{2}}a=π22, c=3aπ2=6c=3a\pi^{2}=6c=3aπ2=6.
# 마무리 f′(0)=c=6f'(0)=c=6f′(0)=c=6. (2)에 의해

g′(0) g(0)2=−f′(0)=−6.g'(0)\,g(0)^{2}=-f'(0)=-6.g′(0)g(0)2=−f′(0)=−6.
보기와 일치: −6\boxed{-6}−6 (선지 2).