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=== Assistant: ありがとうございます。4枚目でついに シローの定理の4「個数条件」 が証明されていますね。整理してみましょう。 ===
ありがとうございます。4枚目でついに シローの定理の(4)「個数条件」 が証明されていますね。整理してみましょう。

==== ページの流れ ====

===== (3) 共役性について =====

前ページまでで
* シロー部分群の存在 (1)
* 任意の ppp-部分群はシロー部分群に含まれる (2) が済んでいます。

ここでは (3) 共役性を示す布石として「シロー部分群の集合 S\mathcal{S}S に対する群作用」を考えています。
共役作用

g⋅S=gSg−1g \cdot S = g S g^{-1}g⋅S=gSg−1
によって、シロー部分群同士が「同じ軌道」に入ることを示し、すべてのシロー部分群は互いに共役であることを導きます。

===== (4) 個数条件 =====

シロー部分群の集合を S\mathcal{S}S とすると、

∣S∣=∑i∣OG(Si)∣|\mathcal{S}| = \sum_i |O_G(S_i)|∣S∣=i∑∣OG(Si)∣
と軌道分解されます（∣OG(Si)∣|O_G(S_i)|∣OG(Si)∣ は軌道の大きさ）。
すると次が成立：

∣S∣≡1(modp).|\mathcal{S}| \equiv 1 \pmod{p}.∣S∣≡1(modp).
* これは「個数が 1 mod p1 \bmod p1modp である」というシローの定理の有名な結論。
* さらに、各軌道の大きさが qqq を割るため、最終的に「np≡1 (mod p)n_p \equiv 1 \ (\mathrm{mod}\ p)np≡1 (mod p) かつ np∣qn_p \mid qnp∣q」が出てきます。

==== このページのポイント ====
* シローの定理のすべての主張 (1)〜(4) が出揃った！
* 特に「個数条件」は、前半の補題（(pqp)≡q(modp)\binom{p^q}{p} \equiv q \pmod{p}(ppq)≡q(modp)）と「群作用による軌道分解」が巧みに組み合わさって出てきています。

==== 例・練習問題 ====
* 例15.1 有限アーベル群に対しては、アーベル群の基本定理から直和分解があるので、シロー部分群が自然に現れることを確認する例。
* 問15.1 では S3S_3S3 のシロー 2-部分群、シロー 3-部分群をすべて書き下す問題。とても標準的で良い演習です。

この時点で シローの定理そのものの証明 は一通り完結しました。
次に出てくる「命題 15.1」などは、その性質をさらに整理するための補助定理（正規化群に関するもの）です。

よろしければ、最後の5枚目を見せていただければ、この「補足命題」や具体例の確認までご一緒に整理できます。