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=== Assistant: この疑問はとても本質的で、積位相の基底構成を理解するうえで避けて通れないポイントです。 ===
この疑問はとても本質的で、積位相の基底構成を理解するうえで避けて通れないポイントです。
あなたは非常に鋭く、「f₁, f₂, f₃ の和集合を取ったら全部覆ってしまうんじゃないか？」と考えていますね。これは大いに筋の通った直感です。

結論から言えば：

===== ではこの話を段階的に説明していきます。 =====

==== Λ = {1,2,3}、T₁ = T₂ = T₃ = ℝ、O₁ = O₂ = O₃ = ℝの開集合全体とします。 ====

それぞれの fλ は次のように定義されます：
* f₁ = { X1×R×RX_1 \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}X1×R×R｜X₁ ∈ O₁ }
* f₂ = { R×X2×R\mathbb{R} \times X_2 \times \mathbb{R}R×X2×R｜X₂ ∈ O₂ }
* f₃ = { R×R×X3\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times X_3R×R×X3｜X₃ ∈ O₃ }

つまり：
* f₁ にある集合は x₁ にだけ制限、他は自由
* f₂ にある集合は x₂ にだけ制限、他は自由
* f₃ にある集合は x₃ にだけ制限、他は自由

==== あなたの疑問は： ====

: 

ということですね。

===== ∪λ fλ は一つの集合ではなく、多くの開集合の集まりです。 =====

たとえば：
* f₁ には (0,1)×R×R(0,1) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}(0,1)×R×R や (2,3)×R×R(2,3) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}(2,3)×R×R などが含まれ、
* f₂ には R×(−1,0)×R\mathbb{R} \times (-1,0) \times \mathbb{R}R×(−1,0)×R などが含まれます。

それらは 交わることもあれば、交わらないこともある。

そして ∪λ fλ の「和集合」は「要素集合（＝直積された開集合）」たちの集まりであり、それぞれが部分集合です。直積空間の基底要素たちです。

==== 次のような3つの集合を考えてください： ====
* U1=(0,1)×R×R∈f1U_1 = (0,1) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \in f_1U1=(0,1)×R×R∈f1
* U2=R×(2,3)×R∈f2U_2 = \mathbb{R} \times (2,3) \times \mathbb{R} \in f_2U2=R×(2,3)×R∈f2
* U3=R×R×(−5,−4)∈f3U_3 = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times (-5,-4) \in f_3U3=R×R×(−5,−4)∈f3

これらを単純に集合としての和集合を取ると：

U1∪U2∪U3U_1 \cup U_2 \cup U_3U1∪U2∪U3
これは (0,1)(0,1)(0,1) の範囲に x₁ が入っているか、x₂ が (2,3) に入っているか、x₃ が (−5,−4) に入っているか のいずれかであるような点全体を表します。

つまり R³ 全体ではありません。

==== それは： ====
* 任意の点 (x₁,x₂,x₃) ∈ ℝ³ に対して、その点を含むような集合が ∪λ fλ に含まれている
* つまり、各点には「その点を含む開集合」が必ず存在する

たとえば (5,6,7) という点があれば：
* (4,6)×R×R∈f1(4,6) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \in f_1(4,6)×R×R∈f1 → (5,6,7) ∈ これ
* または R×(5.5,6.5)×R∈f2\mathbb{R} \times (5.5,6.5) \times \mathbb{R} \in f_2R×(5.5,6.5)×R∈f2 → (5,6,7) ∈ これ

このように、∪λ fλ の各要素は「部分的に開」だが、集合族全体としては ℝ³ の任意の点の近傍をカバーしているのです。

==== 直感的な誤解： ====
* 「打ち消し合って全部自由になってしまう＝R³ になる」 → ❌ 　　（これは ∪λ fλ の要素たちを「一つの和集合」として見てしまっている）

正しい理解：
* 各 fλ の要素は一部制限あり、他は自由
* それを λ に渡ってすべて集めることで「どの成分にも部分的な開集合がついてる」ものが集まり、結果的に空間全体を張る

==== |     |     | ====
| --- | --- |
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この「部分的に開な集合たちを張り巡らせて、全空間の位相を構成する」という考え方は、積位相の核となる考え方です。
さらに興味があれば：
* 「fλ の有限交差で全方向に制限を持つ基底ができる」こと
* 「箱位相」との違い（制限成分の数の違い）

など、より進んだ内容にも進めます。希望されますか？