Editing Openai/69701d2e-3e28-8008-adb9-9b22325d1902 (section)

==== 1. 部分集合 XXX の大きさを数える - X={S⊆G∣∣S∣=pn}X = \{ S \subseteq G \mid |S| = p^n \}X={S⊆G∣∣S∣=pn}。 - この大きさは二項係数で表され、 ∣X∣=(pnqpn).|X| = \binom{p^n q}{p^n}.∣X∣=(pnpnq). - 補題 15.1 を使って ∣X∣≡q(modp)|X| \equiv q \pmod{p}∣X∣≡q(modp) が分かる。 - p∤qp \nmid qp∤q なので、∣X∣|X|∣X∣ は ppp の倍数でない。したがって XXX の元は必ず存在する。 → 「サイズ pnp^npn の部分集合が確かに存在する」ことを保証する。 ====
# 群作用で軌道に分ける - GGG は XXX に自然に作用する（左移動）。 - したがって ∣X∣|X|∣X∣ は軌道分解で ∣X∣=∑i∣OG(Si)∣|X| = \sum_i |O_G(S_i)|∣X∣=i∑∣OG(Si)∣ と表せる。 - 補題によると ∣X∣≢0(modp)|X| \not\equiv 0 \pmod{p}∣X∣≡0(modp) なので、少なくとも1つの軌道 OG(S0)O_G(S_0)OG(S0) が ppp で割り切れない大きさをもつ。
# 安定化群を考える - その部分集合 S0S_0S0 の安定化群 H=ZG(S0)H = Z_G(S_0)H=ZG(S0) を考える。 - 軌道・安定化群の公式から ∣OG(S0)∣=(G:H)=∣G∣∣H∣.|O_G(S_0)| = (G : H) = \frac{|G|}{|H|}.∣OG(S0)∣=(G:H)=∣H∣∣G∣. - ∣OG(S0)∣|O_G(S_0)|∣OG(S0)∣ が ppp で割れない → したがって ∣H∣|H|∣H∣ は pnp^npn を割り切る。 → これにより、位数 pnp^npn の部分群 HHH が存在する。 これが シロー ppp-部分群の存在 の証明。