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=== Assistant: ありがとうございます。3枚目で、いよいよシローの定理の「存在」と「最大性」の証明の核心に入っています。内容を整理します。 ===
ありがとうございます。3枚目で、いよいよシローの定理の「存在」と「最大性」の証明の核心に入っています。内容を整理します。

==== 1. 部分集合 XXX の大きさを数える - X={S⊆G∣∣S∣=pn}X = \{ S \subseteq G \mid |S| = p^n \}X={S⊆G∣∣S∣=pn}。 - この大きさは二項係数で表され、 ∣X∣=(pnqpn).|X| = \binom{p^n q}{p^n}.∣X∣=(pnpnq). - 補題 15.1 を使って ∣X∣≡q(modp)|X| \equiv q \pmod{p}∣X∣≡q(modp) が分かる。 - p∤qp \nmid qp∤q なので、∣X∣|X|∣X∣ は ppp の倍数でない。したがって XXX の元は必ず存在する。 → 「サイズ pnp^npn の部分集合が確かに存在する」ことを保証する。 ====
# 群作用で軌道に分ける - GGG は XXX に自然に作用する（左移動）。 - したがって ∣X∣|X|∣X∣ は軌道分解で ∣X∣=∑i∣OG(Si)∣|X| = \sum_i |O_G(S_i)|∣X∣=i∑∣OG(Si)∣ と表せる。 - 補題によると ∣X∣≢0(modp)|X| \not\equiv 0 \pmod{p}∣X∣≡0(modp) なので、少なくとも1つの軌道 OG(S0)O_G(S_0)OG(S0) が ppp で割り切れない大きさをもつ。
# 安定化群を考える - その部分集合 S0S_0S0 の安定化群 H=ZG(S0)H = Z_G(S_0)H=ZG(S0) を考える。 - 軌道・安定化群の公式から ∣OG(S0)∣=(G:H)=∣G∣∣H∣.|O_G(S_0)| = (G : H) = \frac{|G|}{|H|}.∣OG(S0)∣=(G:H)=∣H∣∣G∣. - ∣OG(S0)∣|O_G(S_0)|∣OG(S0)∣ が ppp で割れない → したがって ∣H∣|H|∣H∣ は pnp^npn を割り切る。 → これにより、位数 pnp^npn の部分群 HHH が存在する。 これが シロー ppp-部分群の存在 の証明。

==== - 次に (2)「任意の ppp-部分群はシロー ppp-部分群に含まれる」を示すために、特定のシロー部分群 SSS を固定し、その共役部分群 gSg−1gSg^{-1}gSg−1 を考えています。 ====
* ここでは「正規化群（normalizer）」 NG(S)N_G(S)NG(S) を導入して議論を進める準備をしています。
* このあとの計算で「シロー部分群の個数」npn_pnp が 1(modp)1 \pmod{p}1(modp) であることが導かれます。

つまりこのページは：
# 存在の証明（シロー部分群は必ずある！）
# 次の 最大性・共役性・個数の条件 への布石（共役類・正規化群の話）

を展開している段階です。

ここまでで「シロー部分群は必ず存在する」が明確になりました。次は「含まれる」「共役」「個数制限」を証明するフェーズに移ります。

差し支えなければ、4枚目を見せていただけますか？