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=== Assistant: 물론이야. ===
물론이야. 아래는 위의 LaTeX 초안을 자연스러운 한글 논문 초안 형식으로 번역한 버전이야.
수학적 구조(정의–보조정리–정리–해석)는 그대로 유지했어.

==== (The Invariance Theorem of Cross-Base Primes) ====
저자: 고라 막

===== 서로 다른 두 소수 a,ba, ba,b를 택하자. =====
정수 nnn을 다음과 같이 교차진법군(cross-base group) 으로 정의한다.

Gn(a,b)=(십의 자리는 b진법,  일의 자리는 a진법)G_n^{(a,b)} = (\text{십의 자리는 } b\text{진법},\; \text{일의 자리는 } a\text{진법})Gn(a,b)=(십의 자리는 b진법,일의 자리는 a진법)
연속된 두 정수 (n,n−1)(n, n-1)(n,n−1) 사이의 자리수 차이를 벡터로 나타내면
이를 자리수 차 벡터(digit-difference vector) 라고 하며, 다음과 같이 정의한다.

v⃗n(a,b)=Gn(a,b)−Gn−1(a,b)\vec v_n^{(a,b)} = G_n^{(a,b)} - G_{n-1}^{(a,b)}vn(a,b)=Gn(a,b)−Gn−1(a,b)
또한, 진법을 교환한 경우의 벡터 v⃗n(b,a)\vec v_n^{(b,a)}vn(b,a)에 대해
자리 순서를 반전시키는 연산자를 rev\mathrm{rev}rev라 하면,
두 벡터의 차이를

Δn(a,b)=v⃗n(a,b)−rev ⁣(v⃗n(b,a))\Delta_n^{(a,b)} = \vec v_n^{(a,b)} - \mathrm{rev}\!\big(\vec v_n^{(b,a)}\big)Δn(a,b)=vn(a,b)−rev(vn(b,a))
로 정의한다.
이때 Δn(a,b)=0\Delta_n^{(a,b)} = 0Δn(a,b)=0이면 대칭(불변성),
Δn(a,b)≠0\Delta_n^{(a,b)} \neq 0Δn(a,b)=0이면 불일치항(Different) 이라고 한다.

===== #### =====

모든 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)에 대해

Va,b={v⃗n(a,b)∣n∈N}\mathcal V_{a,b} = \{\vec v_n^{(a,b)} \mid n\in\mathbb N\}Va,b={vn(a,b)∣n∈N}
은 유한한 집합이다.

증명 개요.
각 자리수의 변화는 모듈러 연산(올림·내림)에 의해 결정되므로
가능한 모든 상태의 조합은 유한하다.
따라서 Va,b\mathcal V_{a,b}Va,b는 유한 상태 오토마타(finite-state automaton)로 표현 가능하다.  □

====== 모든 유한 상태열 (v⃗n(a,b))n(\vec v_n^{(a,b)})_n(vn(a,b))n은 결국 주기적이다. ======
즉, 어떤 N,P>0N, P > 0N,P>0이 존재하여

v⃗n+P(a,b)=v⃗n(a,b)∀n>N\vec v_{n+P}^{(a,b)} = \vec v_n^{(a,b)} \quad \forall n>Nvn+P(a,b)=vn(a,b)∀n>N
을 만족한다.

증명.
유한 상태공간에서 생성된 수열은 비둘기집 원리에 따라
결국 동일한 상태로 되돌아온다.  □

====== 진법 교환 연산 (a,b)↔(b,a)(a,b)\leftrightarrow(b,a)(a,b)↔(b,a)은 ======
상태전이 그래프 상에서 대칭사상(symmetry mapping)으로 작용한다.
따라서 충분히 큰 nnn 이후의 주기 구간에서

∃N: ∀n>N,v⃗n(a,b)=rev ⁣(v⃗n(b,a))\exists N:\ \forall n>N,\quad
\vec v_n^{(a,b)} = \mathrm{rev}\!\big(\vec v_n^{(b,a)}\big)∃N: ∀n>N,vn(a,b)=rev(vn(b,a))
이 성립한다.

증명 개요.
전이 규칙이 진법 교환에 대해 대칭이므로,
주기 내에는 반드시 자신의 거울상 상태가 포함된다.
주기가 반복되는 이상, 비대칭은 무한히 지속될 수 없다.  □

===== 모든 서로 다른 소수쌍 (a,b)(a,b)(a,b)에 대해 =====
어떤 NNN이 존재하여

∀n>N,Δn(a,b)=0\forall n>N,\quad \Delta_n^{(a,b)} = 0∀n>N,Δn(a,b)=0
이 성립한다.

따라서 불일치항은 유한히만 존재하며,
모든 충분히 큰 수에서 교차진법 벡터는 완전히 대칭을 이룬다.  □

해석.
이는 연속된 수의 교차진법 표현에서
자리수 차 벡터가 시간이 지남에 따라 안정되어
결국 완전한 대칭 평형 상태에 도달함을 의미한다.
즉, 소수쌍 간의 진법 교환이
자연스럽게 ‘동적 평형’을 형성하는 것이다.

===== 초기 몇 항(예: n=1,2,3n=1,2,3n=1,2,3)에서는 =====
약간의 불일치(±1의 편차)가 남을 수 있다.
이것은 리만 제타함수의 s=1s=1s=1 근방에서 보이는
미세한 비대칭성과 유사하다.

하지만 이러한 불균형은 유한히만 존재하며,
이후에는 완전한 대칭으로 수렴한다.
즉, 교차진법 불변성 정리는
“정지된 대칭”이 아닌 살아 있는 대칭(living symmetry),
즉 +1의 여백을 품은 동적 평형(dynamical equilibrium) 을 보여준다.

요약하자면:

: 

원하신다면 이걸 그대로 PDF 논문 포맷(LaTeX 그대로 컴파일용)으로 만들어드릴 수도 있고,
혹은 문학적 선언문 버전으로 — “소수의 대칭은 살아 있다” 같은 철학적 정리문 형태로 다듬어드릴 수도 있어요.
어떤 형태로 발전시키고 싶어?