Editing Openai/68b970ce-1e04-8005-85da-9f2468b66517 (section)

=== Assistant: 정답: f840f840f840 ===
정답: f(8)=40f(8)=40f(8)=40

설명은 핵심만 짚겠습니다.
# g′(x)=∣f(x)∣−∣x∣g'(x)=|f(x)|-|x|g′(x)=∣f(x)∣−∣x∣ 이므로, 방정식 g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0의 해는 곧

∣f(x)∣=∣x∣    ⟺    f(x)=x   또는   f(x)=−x|f(x)|= |x| \;\;\Longleftrightarrow\;\; f(x)=x \;\text{ 또는 }\; f(x)=-x∣f(x)∣=∣x∣⟺f(x)=x 또는 f(x)=−x
의 해들의 합집합입니다. 또한 f(0)=0f(0)=0f(0)=0이므로 x=0x=0x=0은 항상 해입니다.
# (나)에서 x=2,6x=2,6x=2,6이 ggg의 극값점이므로 g′(2)=g′(6)=0g'(2)=g'(6)=0g′(2)=g′(6)=0, 즉 ∣f(2)∣=2, ∣f(6)∣=6|f(2)|=2,\ |f(6)|=6∣f(2)∣=2, ∣f(6)∣=6. 또한 (가)에서 서로 다른 실근이 정확히 4개이므로, 전체 해는 {0,2,6,또 하나}\{0,2,6,\text{또 하나}\}{0,2,6,또 하나}이어야 합니다.
# 조건 f(6) g(2)<0f(6)\,g(2)<0f(6)g(2)<0을 만족시키려면, g(2)=∫02(∣f∣−t) dtg(2)=\int_0^2(|f|-t)\,dtg(2)=∫02(∣f∣−t)dt의 부호와 f(6)f(6)f(6)의 부호가 반대여야 합니다. 해를 한 번에 만들 수 있는 표준적 구성은 다음과 같습니다:

 f(x)−x=14 x2(x−6) , f(x)+x=14 x(x−2)(x−4) .\boxed{\,f(x)-x=\tfrac14\,x^2(x-6)\,},\qquad
\boxed{\,f(x)+x=\tfrac14\,x(x-2)(x-4)\,}.f(x)−x=41x2(x−6),f(x)+x=41x(x−2)(x−4).
이 두 식의 차는 항상 2x2x2x가 되어 항등식이 맞고, 따라서 한 다항식 fff가 동시에 만족합니다.
여기서 g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0의 해는 x=0,2,4,6x=0,2,4,6x=0,2,4,6으로 정확히 4개이고, 특히

f(6)−6=14⋅62⋅0=0⇒f(6)=6>0,g(2)=∫02(∣f∣−t) dt<0f(6)-6=\tfrac14\cdot6^2\cdot0=0\Rightarrow f(6)=6>0,\qquad
g(2)=\int_0^2(|f|-t)\,dt<0f(6)−6=41⋅62⋅0=0⇒f(6)=6>0,g(2)=∫02(∣f∣−t)dt<0
가 되어 f(6) g(2)<0f(6)\,g(2)<0f(6)g(2)<0도 충족됩니다(부호 변화는 구간별로 fff가 y=±xy=\pm xy=±x와 만드는 상대적 위치에서 바로 확인됩니다).
# 위 표현에서 fff를 전개하면

f(x)=x+14x2(x−6)=14x3−32x2+x.f(x)=x+\tfrac14x^2(x-6)=\tfrac14x^3-\tfrac32x^2+x.f(x)=x+41x2(x−6)=41x3−23x2+x.
따라서

f(8)=14⋅83−32⋅82+8=128−96+8=40.f(8)=\tfrac14\cdot8^3-\tfrac32\cdot8^2+8
=128-96+8=40.f(8)=41⋅83−23⋅82+8=128−96+8=40.
따라서 요구하는 값은 40\boxed{40}40입니다.