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=== Assistant: ありがとうございます。2枚目では補題 15.1 の証明が終わり、いよいよ シローの定理の本文 が始まっていますね。内容を整理してみます。 ===
ありがとうございます。2枚目では補題 15.1 の証明が終わり、いよいよ シローの定理の本文 が始まっていますね。内容を整理してみます。

==== 2枚目の上半分で導かれている式は： ====

(pqp)≡q(modp).\binom{p^q}{p} \equiv q \pmod{p}.(ppq)≡q(modp).
これがシローの定理で「シロー部分群の個数」についての整除条件を示すときに役立ちます。つまり、「部分群を数えると ppp で割り切れるか、1余る」という結論につながる準備です。

==== - 位数が素数 ppp のべきになっている有限群を「ppp-群」という。 ====
* 一般の有限群 GGG に対して、位数 ∣G∣=pnq|G| = p^n q∣G∣=pnq （ただし p∤qp \nmid qp∤q）と因数分解できるとき、位数 pnp^npn の部分群を シロー ppp-部分群 という。
* シロー ppp-部分群は GGG の中で「最大の ppp-部分群」。

==== 本文に4つの主張が並んでいます： ====
# 有限群 GGG は、任意の素数 ppp に対してシロー ppp-部分群をもつ。 （存在の保証）
# GGG の ppp-部分群はすべてシロー ppp-部分群に含まれる。 （最大性）
# シロー ppp-部分群は互いに共役である。 （「位置が違うだけ」で本質的には同じ）
# シロー ppp-部分群の個数を npn_pnp とすると、 np≡1(modp),np∣qn_p \equiv 1 \pmod{p}, \quad n_p \mid qnp≡1(modp),np∣q が成り立つ。 （個数の制限条件）

==== 下の方に「証明」として書かれているのは、まず (1) の「存在の保証」部分です。 ====
* 群の位数を ∣G∣=pnq|G| = p^n q∣G∣=pnq と置く。
* pnp^npn が群の位数を「ぎりぎり割る最大のべき」として定義される。
* X={S⊆G∣∣S∣=pn}X = \{ S \subseteq G \mid |S| = p^n \}X={S⊆G∣∣S∣=pn} を「pnp^npn 元をもつ部分集合の全体」とする。

ここで、群 GGG がこの集合 XXX に左移動 gS={gs∣s∈S}gS = \{gs \mid s \in S\}gS={gs∣s∈S} で作用します。
→ この作用を利用して「シロー部分群が必ず存在する」ことを示していきます。

==== この手法は「群の作用と軌道分解」の考え方を使っています。 ====
「部分集合に対する群の作用」→「軌道の大きさ」→「素数 ppp での割り算」と繋げていくのが定石です。
ここで補題 15.1 の二項係数合同が使われます。

次のページでは、この「作用の軌道分解」からシロー部分群の存在や個数条件を引き出すステップが展開されるはずです。

差し支えなければ、3枚目も見せていただけますか？