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==== これはシローの定理そのものではありませんが、有限体の性質を利用した「合同算術」の基礎道具になります。 ====

具体的に言うと：
* 二項定理 (1+x)p=∑q=0p(pq)xq.(1+x)^p = \sum_{q=0}^p \binom{p}{q} x^q.(1+x)p=q=0∑p(qp)xq.
* これを有限体 FpF_pFp で考えると、フェルマーの小定理により (1+x)p≡1+xp(modp).(1+x)^p \equiv 1 + x^p \pmod{p}.(1+x)p≡1+xp(modp).
* よって係数比較から (pq)≡0(1≤q≤p−1)\binom{p}{q} \equiv 0 \quad (1 \leq q \leq p-1)(qp)≡0(1≤q≤p−1) が得られるのでは…？と思うかもしれませんが、このページの式は (pq)≡q(modp)\binom{p}{q} \equiv q \pmod{p}(qp)≡q(modp) となっています。

これは「補題の具体的な形を誤読していないか」注意が必要ですが、写真の式を読む限り確かにそう書かれているようです。おそらく次の形を意図していると思われます：

(pr)≡0(modp),(0<r<p)\binom{p}{r} \equiv 0 \pmod{p}, \quad (0<r<p)(rp)≡0(modp),(0<r<p)
や

(pqp)≡q(modp).\binom{p^q}{p} \equiv q \pmod{p}.(ppq)≡q(modp).
特に2つ目の式

(pqp)≡q(modp)\binom{p^q}{p} \equiv q \pmod{p}(ppq)≡q(modp)
はシローの定理の証明に直接出てくる有名な補題です（シロー部分群の個数に関する整除性を示すときに使います）。