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=== Assistant: 好，這一題用「列出常用對數（log₁₀）」來比對，會更符合考試直覺，也能看出命題者的陷阱 👍 ===
好，這一題用「列出常用對數（log₁₀）」來比對，會更符合考試直覺，也能看出命題者的陷阱 👍
我們就完全用 log 的方式重做一次。

==== 題目給： ====

x=10n/10,N=⌊x⌋x = 10^{n/10},\quad N=\lfloor x \rfloorx=10n/10,N=⌊x⌋
這等價於：

N≤10n/10<N+1N \le 10^{n/10} < N+1N≤10n/10<N+1
兩邊取常用對數：

log⁡N≤n10<log⁡(N+1)\log N \le \frac{n}{10} < \log(N+1)logN≤10n<log(N+1)
也就是：

10log⁡N≤n<10log⁡(N+1)10\log N \le n < 10\log(N+1)10logN≤n<10log(N+1)
👉 只要把常用對數表列出來，就能直接判斷 n 的落點

==== log⁡1=0log⁡2≈0.3010log⁡3≈0.4771log⁡4≈0.6021log⁡5≈0.6990log⁡6≈0.7782log⁡7≈0.8451log⁡8≈0.9031log⁡9≈0.9542log⁡10=1\begin{aligned} ====
\log 1 &= 0 \\
\log 2 &\approx 0.3010 \\
\log 3 &\approx 0.4771 \\
\log 4 &\approx 0.6021 \\
\log 5 &\approx 0.6990 \\
\log 6 &\approx 0.7782 \\
\log 7 &\approx 0.8451 \\
\log 8 &\approx 0.9031 \\
\log 9 &\approx 0.9542 \\
\log 10 &= 1
\end{aligned}log1log2log3log4log5log6log7log8log9log10=0≈0.3010≈0.4771≈0.6021≈0.6990≈0.7782≈0.8451≈0.9031≈0.9542=1
乘以 10（因為是 n/10）：

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| --- | --- | --- | --- |
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==== ### ====

0≤n<3.010⇒n=0,1,2,30 \le n < 3.010 \Rightarrow n=0,1,2,30≤n<3.010⇒n=0,1,2,3
===== 3.010≤n<4.771⇒n=43.010 \le n < 4.771 \Rightarrow n=43.010≤n<4.771⇒n=4 =====
===== - N=3 → n=5 =====
* N=5 → n=7
* N=6 → n=8
* N=7 → n=9

👉 注意：N=4 完全沒有整數 n 命中（大陷阱）

==== ### ====

互生 n=0,1,2,3 → 4/10
❌ 錯（40%）

===== 對生只有 n=4 =====
❌ 錯

===== 3.010≤4<4.7713.010 \le 4 < 4.7713.010≤4<4.771 =====
✔ 對

===== E=0+1+2+34=1.5E=\frac{0+1+2+3}{4}=1.5E=40+1+2+3=1.5 =====
✔ 對

===== log 判斷： =====
* n=6 落在 N=3 區間
* 沒有任何 n 對應 N=4

❌ 錯

==== 👉 不是指數計算，而是： ====
# 常用對數大小比較
# 10a<k10^{a}<k10a<k ⇔ a<log⁡ka<\log ka<logk
# 「整數落點」與「空區間」陷阱
# 無條件捨去造成的 N 缺值（N=4 不存在）

===== : =====

如果你想，我也可以幫你改寫成
📌「學測／分科考標準解答版」或
📌「學生最容易中陷阱的錯解示範」