Editing Openai/69174844-9774-8012-8b69-32262ca5e35a (section)

==== ### ====
* 没有静止系，可以选择沿 z 轴传播的参考动量：

pμ=(E,0,0,E)p^\mu = (E, 0, 0, E)pμ=(E,0,0,E)
* 能量 = 动量大小，符合光子等无质量粒子。

===== 我们要求 Λμνpν=pμ\Lambda^\mu{}_\nu p^\nu = p^\muΛμνpν=pμ，也就是： =====

Λ(E00E)=(E00E)\Lambda \begin{pmatrix} E \\ 0 \\ 0 \\ E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E \\ 0 \\ 0 \\ E \end{pmatrix}ΛE00E=E00E
====== - 沿 z 轴旋转 θ\thetaθ： ======

Rz(θ)=(10000cos⁡θ−sin⁡θ00sin⁡θcos⁡θ00001)R_z(\theta) = 
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}Rz(θ)=10000cosθsinθ00−sinθcosθ00001
* 作用在 p 上不会改变 p → 是保持动量的变换。
* 沿 x 或 y 方向的 boost（所谓“平移”）：

T(a,b)=null rotation/ISO(2) translation partT(a,b) = \text{null rotation/ISO(2) translation part}T(a,b)=null rotation/ISO(2) translation part
* 可以证明这些变换会改变空间方向，但仍保持 p2=0p^2 = 0p2=0 且沿 z 方向不动（数学上是 ISO(2) 群）。

✅ 结论：无质量粒子的小群 = ISO(2)（二维欧几里得群）
* 包含沿 z 轴的旋转（对应螺旋度）
* 平移部分 → 对物理态无影响，可规掉

===== - 光子（自旋 1）： - ISO(2) 的不可约表示 → 只有两种 helicity ±1 =====
* 引力波（自旋 2）： - ISO(2) 不可约表示 → helicity ±2