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=== Assistant: ありがとうございます。画像を拝見しました。堀田先生の本では §15 シローの定理 が始まる最初のページですね。まずはウォーミングアップとして「補題 15.1」が出てきています。これは直接シローの定理を証明するために必要な数論的道具です。 ===
ありがとうございます。画像を拝見しました。堀田先生の本では §15 シローの定理 が始まる最初のページですね。まずはウォーミングアップとして「補題 15.1」が出てきています。これは直接シローの定理を証明するために必要な数論的道具です。

==== - §15 シローの定理の導入部分。 - 有限群論におけるシローの定理の位置づけが書かれている。 - 「ほとんど唯一の構造定理」と呼べるほど強力で、応用も広いと説明されています。 ====
* 補題15.1 ppp を素数とするとき、二項係数について次の合同式が成立する： (pq)≡q(modp).\binom{p}{q} \equiv q \pmod{p}.(qp)≡q(modp).
* その証明のヒント： 有限体 Fp=Z/pZF_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}Fp=Z/pZ 上での二項展開を考えるのが簡単だ、と書かれています。

==== これはシローの定理そのものではありませんが、有限体の性質を利用した「合同算術」の基礎道具になります。 ====

具体的に言うと：
* 二項定理 (1+x)p=∑q=0p(pq)xq.(1+x)^p = \sum_{q=0}^p \binom{p}{q} x^q.(1+x)p=q=0∑p(qp)xq.
* これを有限体 FpF_pFp で考えると、フェルマーの小定理により (1+x)p≡1+xp(modp).(1+x)^p \equiv 1 + x^p \pmod{p}.(1+x)p≡1+xp(modp).
* よって係数比較から (pq)≡0(1≤q≤p−1)\binom{p}{q} \equiv 0 \quad (1 \leq q \leq p-1)(qp)≡0(1≤q≤p−1) が得られるのでは…？と思うかもしれませんが、このページの式は (pq)≡q(modp)\binom{p}{q} \equiv q \pmod{p}(qp)≡q(modp) となっています。

これは「補題の具体的な形を誤読していないか」注意が必要ですが、写真の式を読む限り確かにそう書かれているようです。おそらく次の形を意図していると思われます：

(pr)≡0(modp),(0<r<p)\binom{p}{r} \equiv 0 \pmod{p}, \quad (0<r<p)(rp)≡0(modp),(0<r<p)
や

(pqp)≡q(modp).\binom{p^q}{p} \equiv q \pmod{p}.(ppq)≡q(modp).
特に2つ目の式

(pqp)≡q(modp)\binom{p^q}{p} \equiv q \pmod{p}(ppq)≡q(modp)
はシローの定理の証明に直接出てくる有名な補題です（シロー部分群の個数に関する整除性を示すときに使います）。

==== - シローの定理の証明では「群の部分群の個数」を数えるために、組み合わせ論や二項係数が登場します。 ====
* この補題は、その計算を「mod p」で整えるために必要な道具です。

次に、残りの4枚を見れば堀田先生の本に沿った証明の道筋が追えます。
シローの定理の「存在」「共役性」「個数条件」のうち、まずは 個数条件 np≡1(modp)n_p \equiv 1 \pmod{p}np≡1(modp) の証明にこの補題が使われるはずです。

差し支えなければ、2枚目のページを見せていただけますか？