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{{DISPLAYTITLE:不正經數學題單選詳解}}

''This conversation was exported from ChatGPT''<ref>{{cite web|title=不正經數學題單選詳解|url=https://chatgpt.com/share/695d09e5-7848-8005-85a0-7c1e2c1cf8c2|publisher=ChatGPT|access-date=2026-01-09}}</ref>

== gpt-5-2 ==
=== User: 1.去頭狗是指沒有頭的狗，他們曾經推翻神的統治但以失去了頭為代價。他們喜歡吃各種正數，不喜歡吃負數。已知去頭狗吃下的食物x和拉出多少便便y公克有以下關係：y100logx/log尾巴數字） ===
1.去頭狗是指沒有頭的狗，他們曾經推翻神的統治但以失去了頭為代價。他們喜歡吃各種正數，不喜歡吃負數。已知去頭狗吃下的食物x和拉出多少便便y公克有以下關係：y=100logx/log(尾巴數字）
一隻尾巴是10的去頭狗吃了10之後會拉出100g便便，請問他吃下2026^115會拉出幾公噸的便便
（1）3.8×10^-5
（2）3.8×10^-2
（3）3.8×10^1
（4）3.8×10^4
（5）3.8×10^7

=== Assistant: 先把題意整理成數學： ===
先把題意整理成數學：

已知

y=100log⁡xlog⁡(尾巴數字)y=100\frac{\log x}{\log(\text{尾巴數字})}y=100log(尾巴數字)logx
而這隻去頭狗「尾巴數字 = 10」。

===== 因為 =====

log⁡10=1\log 10 = 1log10=1
所以

y=100log⁡10xy=100\log_{10}xy=100log10x
（單位：公克）

===== log⁡10(2026115)=115log⁡102026\log_{10}(2026^{115})=115\log_{10}2026log10(2026115)=115log102026 =====
估算：

2026≈2.026×1032026 \approx 2.026\times10^32026≈2.026×103
log⁡102026≈3+log⁡102.026≈3+0.306=3.306\log_{10}2026 \approx 3+\log_{10}2.026 \approx 3+0.306=3.306log102026≈3+log102.026≈3+0.306=3.306
所以：

log⁡10x≈115×3.306≈380\log_{10}x \approx 115\times3.306 \approx 380log10x≈115×3.306≈380

===== y=100×380≈3.8×104 gy=100\times380 \approx 3.8\times10^4 \text{ g}y=100×380≈3.8×104 g =====

===== 1 公噸=106 g1\text{ 公噸}=10^6\text{ g}1 公噸=106 g =====
3.8×104 g=3.8×10−2 公噸3.8\times10^4\text{ g}
=3.8\times10^{-2}\text{ 公噸}3.8×104 g=3.8×10−2 公噸

===== （2）3.8×10−23.8\times10^{-2}3.8×10−2 =====

（這題本質是在考「對數性質＋指數換算單位」，外皮是神話生物 😄）

=== User: 2.一場五戰三勝的比賽，一方先取得三局勝利即獲勝比賽並且比賽結束，共有多少種小局勝負組合 ===
2.一場五戰三勝的比賽，一方先取得三局勝利即獲勝比賽並且比賽結束，共有多少種小局勝負組合
（1）10種
（2）12種
（3）15種
（4）20種
（5）24種

=== Assistant: 這題是在數「五戰三勝，且一到三勝就立刻結束」的小局勝負序列數。 ===
這題是在數「五戰三勝，且一到三勝就立刻結束」的小局勝負序列數。

設兩方為 A、B。

==== ### ====
* A 3–0：只有 AAA → 1 種
* B 3–0：只有 BBB → 1 種

👉 共 2 種

===== 最後一局一定是勝方獲勝。 =====

以 A 贏為例：
* 前 3 局中，A 贏 2 局、B 贏 1 局
* 排列數：(31)=3\binom{3}{1}=3(13)=3

B 贏同理也是 3 種。

👉 共 3+3=63+3=63+3=6 種

===== 最後一局一定是勝方獲勝。 =====

以 A 贏為例：
* 前 4 局中，A 贏 2 局、B 贏 2 局
* 排列數：(42)=6\binom{4}{2}=6(24)=6

B 贏同理也是 6 種。

👉 共 6+6=126+6=126+6=12 種

==== 2+6+12=202+6+12=202+6+12=20 ====

===== （4）20 種 =====

這題的關鍵陷阱是：
👉 不能把「已經分出三勝後還繼續打」的序列算進去。

=== User: 3.台灣特有的單位有面積單位「大安森林公園」、貨幣單位「營養午餐」、骯髒單位或細菌密度單位「馬桶」等，閱讀以下新聞： ===
3.台灣特有的單位有面積單位「大安森林公園」、貨幣單位「營養午餐」、骯髒單位或細菌密度單位「馬桶」等，閱讀以下新聞：
新聞一：”好可怕沒有人敢碰！在某市裡面竟有三個大安森林公園大小的化糞池缺乏清理，若要完全清理乾淨約需x億，足夠提供433萬位學生吃一份營養午餐......”
新聞二：“你覺得我們每天大小便的馬桶很髒嗎，那接下來你可能會嚇到。「這東西」的骯髒程度是馬桶的1000倍，但是你離不開它，沒錯，就是手機，僅僅1/10的馬桶面積，一個手機的細菌量就相當於y個馬桶.....”
已知大安森林公園面積26公頃，一份營養午餐成本60元，馬桶上細菌密度每平方公分10隻。試問數組（x,y）？
（1）(2.6×10^-1,10^1)
（2）(5.2×10^-1,10^2)
（3）(2.6×10^0,10^2)
（4）(5.2×10^0,10^3)
（5）(2.6×10^1,10^4)

=== Assistant: 我們一段一段算，把「單位梗」翻回正常數學。 ===
我們一段一段算，把「單位梗」翻回正常數學。

==== : ====

===== 433萬×60=4.33×106×60=2.598×108 元433萬 \times 60 =====
= 4.33\times10^6 \times 60
= 2.598\times10^8 \text{ 元}433萬×60=4.33×106×60=2.598×108 元
因為題目說「約需 x 億」：

2.598×108 元≈2.6 億2.598\times10^8 \text{ 元} \approx 2.6 \text{ 億}2.598×108 元≈2.6 億
👉

x=2.6=2.6×100x = 2.6 = 2.6\times10^0x=2.6=2.6×100

==== 已知： ====
* 馬桶細菌密度：每平方公分 10 隻
* 手機： - 面積 = 馬桶的 1/10 - 細菌密度 = 馬桶的 1000 倍

===== 手機細菌量=110×1000=100\text{手機細菌量} =====
= \frac{1}{10} \times 1000
= 100手機細菌量=101×1000=100
👉 一支手機 ≈ 100 個馬桶的細菌量

y=100=102y = 100 = 10^2y=100=102

==== (x,y)=(2.6×100,  102)(x,y) = (2.6\times10^0,\;10^2)(x,y)=(2.6×100,102) ====

===== （3） =====

這題本質是在考：
* 單位換算（萬、億）
* 面積 × 密度的比例比較 外表是新聞迷因題 😄

=== User: 4.下列哪個函數最接近台灣一年四季的氣溫（y單位°C，使y最接近x月月均溫）： ===
4.下列哪個函數最接近台灣一年四季的氣溫（y單位°C，使y最接近x月月均溫）：
（1）y=3sin(π(x-1)/6)+15
（2）y=3cos(π(x-1)/6)+15
（3）y=-6sin(π(x-1)/6)+22
（4）y=-6cos(π(x-1)/6)+22
（5）y=-9cos(π(x-1)/6)+28

=== Assistant: 判斷「像不像台灣一年四季氣溫」，關鍵看 三件事： ===
判斷「像不像台灣一年四季氣溫」，關鍵看 三件事：
# 週期：一年 12 個月
# 最冷在 1 月左右、最熱在 7–8 月
# 溫度範圍： - 冬天約 15–17°C - 夏天約 28–30°C

題目中所有函數的角度都是

π(x−1)6\frac{\pi(x-1)}{6}6π(x−1)
→ 週期剛好是 12 個月，這點都合格
差別在「相位、正負號、振幅與中線」

==== ### ====
* cos⁡0=1\cos 0 = 1cos0=1，在 x = 1（月） 取極值
* 若前面是 負號： → 1 月是最低溫 → 7 月（cos⁡π=−1\cos \pi = -1cosπ=−1）是最高溫 ✅ 完全符合台灣氣候

==== ### ====
* 最低溫：22−6=16∘C22-6=16^\circ C22−6=16∘C（冬天 ✔）
* 最高溫：22+6=28∘C22+6=28^\circ C22+6=28∘C（夏天 ✔）
* 1 月冷、7 月熱 ✔

👉 幾乎完美符合台灣年均溫走勢

===== - （1）（2）：振幅太小，冬夏溫差不夠 =====
* （3）：sin 型，極值月份不對
* （5）：夏天飆到 37°C，全年均溫過高

==== （4） ====

這題本質是在考
👉「三角函數的相位＋實際情境判斷」，
不是單純代值算數。

=== User: 可以另外解釋代值x在1月和7月的解法嗎 ===
可以另外解釋代值x在1月和7月的解法嗎

=== Assistant: 可以，而且用「直接代 1 月、7 月」其實是最直觀、最考場友善的方法。我們一步一步來。 ===
可以，而且用「直接代 1 月、7 月」其實是最直觀、最考場友善的方法。我們一步一步來。

==== - 台灣 1 月最冷 ====
* 台灣 7 月最熱

所以「像台灣氣溫的函數」必須滿足：
* x=1x=1x=1 時 y 小
* x=7x=7x=7 時 y 大

==== 角度是 ====

θ=π(x−1)6\theta=\frac{\pi(x-1)}{6}θ=6π(x−1)
===== θ=π(1−1)6=0\theta=\frac{\pi(1-1)}{6}=0θ=6π(1−1)=0 =====
sin⁡0=0,cos⁡0=1\sin0=0,\quad \cos0=1sin0=0,cos0=1
===== θ=π(7−1)6=π\theta=\frac{\pi(7-1)}{6}=\piθ=6π(7−1)=π =====
sin⁡π=0,cos⁡π=−1\sin\pi=0,\quad \cos\pi=-1sinπ=0,cosπ=−1

==== ### ====
* 1 月：151515
* 7 月：151515

❌ 冬夏一樣，不像氣溫

===== - 1 月：181818 =====
* 7 月：121212

❌ 1 月比 7 月熱，季節顛倒

===== - 1 月：222222 =====
* 7 月：222222

❌ 冬夏沒變化

===== - 1 月：22−6=1622-6=1622−6=16 =====
* 7 月：22+6=2822+6=2822+6=28

✅ 1 月低、7 月高

===== - 1 月：28−9=1928-9=1928−9=19 =====
* 7 月：28+9=3728+9=3728+9=37

⚠️ 方向對，但夏天太誇張

==== : ====

==== （4） ====

這種「直接代關鍵月份」的方法，
比背週期、相位公式更快、更不容易錯。

=== User: 5.廖小姐和胡先生在派對上玩函數猜猜樂，是由江小姐設計的一個三次函數fx，規則是一個人每輪可以提出一個一次式做為fx的除式，而江小姐會回答fx除以該除式所得的餘式。已知輪到廖小姐時她說x-1，江小姐回答7；輪到胡先生時他說（x+1），江小… ===
5.廖小姐和胡先生在派對上玩函數猜猜樂，是由江小姐設計的一個三次函數f(x)，規則是一個人每輪可以提出一個一次式做為f(x)的除式，而江小姐會回答f(x)除以該除式所得的餘式。已知輪到廖小姐時她說(x-1)，江小姐回答7；輪到胡先生時他說（x+1），江小姐回答3。廖小姐想到上輪劉先生說x時江小姐好像回答5還是9，但是5還是9她有點不太清楚了。選出錯誤的選項
（1）如果江小姐當時回答5，函數對稱中心為（0,5）
（2）如果江小姐當時回答9，函數對稱中心的x座標不一定在-1≤x≤1之間
（3）如果江小姐當時回答9，f(x)-9必有因式x
（4）如果江小姐當時回答5，f(x)可能是2x^3+5
（5）如果江小姐當時回答9，f(x)可能是2x^3+9

=== Assistant: 我們用餘式定理＋三次函數對稱中心系統性判斷。 ===
我們用餘式定理＋三次函數對稱中心系統性判斷。

==== 設 ====

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+df(x)=ax3+bx2+cx+d
由餘式定理：
* 除以 x−1x-1x−1 餘 7 ⇒ f(1)=7f(1)=7f(1)=7
* 除以 x+1x+1x+1 餘 3 ⇒ f(−1)=3f(-1)=3f(−1)=3
* 除以 xxx 餘 555 或 999 ⇒ f(0)=d=5f(0)=d=5f(0)=d=5 或 999

==== {a+b+c+d=7−a+b−c+d=3\begin{cases} ====
a+b+c+d=7 \\
-a+b-c+d=3
\end{cases}{a+b+c+d=7−a+b−c+d=3
相加：

2b+2d=10⇒b+d=52b+2d=10 \Rightarrow b+d=52b+2d=10⇒b+d=5
相減：

2a+2c=4⇒a+c=22a+2c=4 \Rightarrow a+c=22a+2c=4⇒a+c=2
👉 不論 5 或 9，這兩條一定成立

==== ### ====

b+d=5⇒b=0b+d=5 \Rightarrow b=0b+d=5⇒b=0
===== 三次函數對稱中心： =====

x0=−b3a=0,y0=f(0)=5x_0=-\frac{b}{3a}=0,\quad y_0=f(0)=5x0=−3ab=0,y0=f(0)=5
====== - （1） 對稱中心為 (0,5)(0,5)(0,5) ✅ ======
* （4） f(x)=2x3+5f(x)=2x^3+5f(x)=2x3+5

檢查：

f(1)=7, f(−1)=3, f(0)=5f(1)=7,\ f(-1)=3,\ f(0)=5f(1)=7, f(−1)=3, f(0)=5
完全符合 ✅

==== ### ====

b+9=5⇒b=−4b+9=5 \Rightarrow b=-4b+9=5⇒b=−4
===== x0=−b3a=43ax_0=-\frac{b}{3a}=\frac{4}{3a}x0=−3ab=3a4 =====
因為只知道 a+c=2a+c=2a+c=2，
👉 aaa 可大可小
👉 x0x_0x0 不一定落在 [−1,1][-1,1][−1,1]
* （2） 正確 ✅

===== f(x)−9 有因式 x  ⟺  f(0)=9f(x)-9 \text{ 有因式 } x \iff f(0)=9f(x)−9 有因式 x⟺f(0)=9 =====
成立 ✅

===== 假設： =====

f(x)=2x3+9f(x)=2x^3+9f(x)=2x3+9
則：

f(1)=11≠7f(1)=11 \neq 7f(1)=11=7
❌ 不符合題目條件

==== 只有一個選項與條件矛盾。 ====

===== （5） =====

這題本質在考三件事：
# 餘式定理
# 三次函數對稱中心公式
# 是否真的代回驗證，而不是只看形式

== gpt-5-mini ==
=== User: （解釋可先列出〈a22/7n〉、〈a1/3n〉前七項，且514÷6餘4，從第二輪開始，〈a22/7n〉項數mod 6 餘1到餘6分別為7、1、4、2、8、5，另外注意乘以零） ===
（解釋可先列出〈a(22/7)n〉、〈a(1/3)n〉前七項，且514÷6餘4，從第二輪開始，〈a(22/7)n〉項數mod 6 餘1到餘6分別為7、1、4、2、8、5，另外注意乘以零）        
6.有一個魔法箱子可以使數字x變成一串數列〈a(x)n〉，但0≤x<10。該數列以個位數為首項a1，十分位為a2，以此類推，如〈a(√3)n〉為1,7,3,2...，〈a(1/7)n〉=0,1,4,2,8,5,7,1,4...今有以下說法：            
1️⃣〈a(1/3)n〉第114項與〈a(22/7)n〉第514項相乘為12            
2️⃣〈a(π)n〉第1項、〈a(e)n〉第1項、〈a(1/6)n〉第4項相乘為36            
3️⃣〈a(log243/log3)n〉第7749項、〈a(π)n〉第142857項、〈a√7n〉第9981項相乘為1            
4️⃣〈a(22/7)n〉與〈a(π)n〉至第4項開始不同

=== Assistant: 好的，我們來仔細分析這題。你給的提示很清楚，我們就按步驟整理。這題是循環數列＋模運算＋小數展開的位數問題。 ===
好的，我們來仔細分析這題。你給的提示很清楚，我們就按步驟整理。這題是循環數列＋模運算＋小數展開的位數問題。

==== - 「魔法箱子」會把 0 ≤ x < 10 的數字變成一個 循環序列〈a(x)n〉 ====
* 序列生成規則：小數部分的數字依位數排列（例：√3=1.73205… → 1,7,3,2,0,5…）
* 給定提示： - 〈a(1/7)n〉=0,1,4,2,8,5,7,1,4…（週期6） - 〈a(√3)n〉=1,7,3,2…
* 題目關鍵是：找到序列第 n 項，通常用 n mod 週期長度 判斷位置。

==== 1️⃣〈a(1/3)n〉第114項 × 〈a(22/7)n〉第514項 = 12 ====

===== - 小數展開：1/3 = 0.3333… =====
* 序列 = 3,3,3,…
* 所以第 114 項 = 3

✅ 第 114 項 = 3

===== 提示給你： =====
* 從第二輪開始，〈a(22/7)n〉的項數 mod 6 餘 1 到 6 分別是：7,1,4,2,8,5
* 514 ÷ 6 餘 4 ⇒ 第 514 項 ≡ 模 6 餘 4 ⇒ 對應數列 = 2

===== 3×2=6≠123 \times 2 = 6 \neq 123×2=6=12 =====
❌ 所以 選項 1️⃣錯誤

==== 2️⃣〈a(π)n〉第1項 × 〈a(e)n〉第1項 × 〈a(1/6)n〉第4項 = 36 ====
* 〈a(π)n〉第1項 = 3
* 〈a(e)n〉第1項 = 2
* 〈a(1/6)n〉第4項 → 1/6 = 0.1666… → 第4項 = 6

計算：

3×2×6=363 \times 2 \times 6 = 363×2×6=36
✅ 正確

==== 3️⃣〈a(log243/log3)n〉第7749項 × 〈a(π)n〉第142857項 × 〈a√7n〉第9981項 = 1 ====
* log243/log3 = log3^5/log3 = 5
* 〈a(5)n〉=5,0,0,…（小數部分 0）
* 第 7749 項 = 0
* 相乘任何數 × 0 = 0

❌ 題目說等於 1 → 錯誤

==== 4️⃣〈a(22/7)n〉與〈a(π)n〉至第4項開始不同 ====
* π = 3.1415…
* 22/7 = 3.142857…
* 第 1~3 項都可能相同：3,1,4
* 第 4 項：π 第 4 項 = 1（3.1415…）
* 22/7 第 4 項 = 2（3.142857…）

✅ 第4項開始不同 → 正確

==== - 錯誤的選項：1️⃣、3️⃣ ====
* 正確的選項：2️⃣、4️⃣

如果你想，我可以幫你畫一個 〈a(x)n〉循環表＋mod 6 的對應圖，看 22/7 的週期如何對應第 514 項，會更直觀。

你想要我畫嗎？

=== User: 5️⃣〈aen〉第2項〈a22/7n〉第k項，其中k百位、十位、個位數字分別是〈aen〉的1、2、3項 ===
5️⃣〈a(e)n〉第2項=〈a(22/7)n〉第k項，其中k百位、十位、個位數字分別是〈a(e)n〉的1、2、3項
6️⃣α、β為方程式x^2-2141x+(1013×23×10)的兩根，則〈a(22/7)n〉第α項、〈a(1/3)n〉第α項、〈a(22/7)n〉第β項、〈a(1/3)n〉第β項相乘為126
7️⃣數列〈bn〉=7,21,63,189,567,...，〈bn〉第7項和〈a(22/7)n〉第h項相乘為完全平方數，其中六位數h從十萬位到個位的數字排列與〈a(22/7)n〉第2項到第7項相同
請問上述說法幾個正確
（1）4個
（2）5個
（3）6個
（4）7個
（5）8個             
          
（•從第二輪開始，〈a(22/7)n〉的項數 mod 6 餘 1 到 6 分別是：7,1,4,2,8,5）
（5️⃣求k mod 6，
因為〈a(e)n〉前三項為2、7、1，故k=271，
271mod6≡1，〈a(22/7)n〉第271項是7，5️⃣正確
6️⃣題目刻意將常數項寫成（1013×23×10）方便因式分解，10中提取5與23相乘得115，提取2與1013相乘得2026，且115+2026=2141
x^2-2141x+(1013×23×10)=（x-115)(x-2026)
又因為〈a(1/3)n〉後面每一項都是3，
〈a(22/7)n〉第α項、〈a(1/3)n〉第α項、〈a(22/7)n〉第β項、〈a(1/3)n〉第β項相乘 會等於 9、〈a(22/7)n〉第115項、〈a(22/7)n〉第2026項相乘，115mod6=1，2026mod6=4，故答案=9×7×2=126
故6️⃣正確
7️⃣〈a(22/7)n〉前7項為3、1、4、2、8、5、7，h=142857，142857 mod 6≡3，〈a(22/7)n〉第142857項為4，數列〈bn〉為7×3^（n-1)，第七項為7×3^6（5103），而7×3^6×4非完全平方數，7️⃣錯誤）

=== Assistant: 好，我們整理一下你給的分析與結論，並確認哪些正確哪些錯誤。 ===
好，我們整理一下你給的分析與結論，並確認哪些正確哪些錯誤。

==== ### ====
* 〈a(e)n〉前三項 = 2,7,1
* k = 271 ⇒ k mod 6 = 1
* 〈a(22/7)n〉第 271 項 = 7 ✅ 正確

===== - 方程 x2−2141x+(1013⋅23⋅10)=(x−115)(x−2026)x^2-2141x+(1013\cdot23\cdot10) = (x-115)(x-2026)x2−2141x+(1013⋅23⋅10)=(x−115)(x−2026) =====
* α = 115, β = 2026
* 〈a(1/3)n〉所有項 = 3
* 〈a(22/7)n〉第115項、2026項 mod 6 分別 = 1 → 7, 4 → 2
* 相乘：7×2×3×3 = 126 ✅ 正確

===== - 〈bn〉第 7 項 = 7×3^6 = 5103 =====
* 〈a(22/7)n〉第 h 項 = 4
* 5103 × 4 = 20412 ❌ 非完全平方數 ❌ 錯誤

===== - 選項 1️⃣、3️⃣ 之前分析已經判定錯誤 =====
* 選項 2️⃣、4️⃣ 正確
* 所以前面正確的數量 = 2

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===== - 正確：2️⃣、4️⃣、5️⃣、6️⃣ → 共 4 個正確 =====

===== （1）4個 ✅ =====

如果你需要，我可以幫你畫一個 〈a(22/7)n〉mod 6 循環對照表，把第 α、β、h 項位置一眼看出來，整個序列就更直觀。

你想要我畫嗎？

=== User: 幫我再整理一次5️⃣6️⃣7️⃣的做法（註：沒有限定α、β誰是115誰是2026，但不影響作答） ===
幫我再整理一次5️⃣6️⃣7️⃣的做法（註：沒有限定α、β誰是115誰是2026，但不影響作答）

=== Assistant: 好的，我幫你把 5️⃣、6️⃣、7️⃣ 的做法整理成條理清晰、簡單易懂的步驟，方便快速回顧。 ===
好的，我幫你把 5️⃣、6️⃣、7️⃣ 的做法整理成條理清晰、簡單易懂的步驟，方便快速回顧。

==== 5️⃣〈a(e)n〉第2項 = 〈a(22/7)n〉第k項 ====

題意：k 的百位、十位、個位數分別是 〈a(e)n〉的 1、2、3 項

步驟：
# 先寫出 〈a(e)n〉前三項：2, 7, 1
# 百位、十位、個位 → k = 271
# 計算 k mod 6（因為 〈a(22/7)n〉週期為 6）： 271mod  6=1271 \mod 6 = 1271mod6=1
# 從提示表看 〈a(22/7)n〉第 1 項 = 7
# ✅ 與 〈a(e)n〉第2項（7）吻合 → 正確

==== 6️⃣ 〈a(22/7)n〉第α、β項 × 〈a(1/3)n〉第α、β項 = 126 ====

題意：α、β 為方程的兩根：

x2−2141x+(1013⋅23⋅10)x^2 - 2141x + (1013 \cdot 23 \cdot 10)x2−2141x+(1013⋅23⋅10)
步驟：
# 因式分解常數項：

1013⋅23⋅10=(1013⋅2)⋅(23⋅5)=2026⋅1151013 \cdot 23 \cdot 10 = (1013\cdot2) \cdot (23\cdot5) = 2026 \cdot 1151013⋅23⋅10=(1013⋅2)⋅(23⋅5)=2026⋅115
* 所以方程因式分解：

(x−115)(x−2026)=0(x-115)(x-2026) = 0(x−115)(x−2026)=0
* α、β = 115, 2026 （順序不影響結果）
# 〈a(1/3)n〉每項都是 3 → α 項、β 項都是 3
# 〈a(22/7)n〉週期 mod 6 計算： - α = 115 → 115 mod 6 = 1 → 對應第 1 項 = 7 - β = 2026 → 2026 mod 6 = 4 → 對應第 4 項 = 2
# 相乘：

〈a(22/7)〉α×〈a(1/3)〉α×〈a(22/7)〉β×〈a(1/3)〉β=7×3×2×3=126〈a(22/7)〉_α × 〈a(1/3)〉_α × 〈a(22/7)〉_β × 〈a(1/3)〉_β = 7 \times 3 \times 2 \times 3 = 126〈a(22/7)〉α×〈a(1/3)〉α×〈a(22/7)〉β×〈a(1/3)〉β=7×3×2×3=126
✅ 正確

==== 7️⃣ 〈bn〉第7項 × 〈a(22/7)n〉第h項 = 完全平方數？ ====

題意：
* 〈bn〉 = 7,21,63,189,… → 第7項 = 7⋅36=51037 \cdot 3^6 = 51037⋅36=5103
* h 六位數由 〈a(22/7)n〉第2到7項組成（提示前 7 項：3,1,4,2,8,5,7 → 2→7 位）
* 〈a(22/7)n〉第 h 項 = 4（mod 6 計算得到）

步驟：
# 計算 〈bn〉第7項 = 5103
# 〈a(22/7)n〉第 h 項 = 4
# 相乘：

5103×4=204125103 \times 4 = 204125103×4=20412
* 20412 不是完全平方數

❌ 所以這題錯誤

===== 總結 =====

| 題號  | 判斷   |
| --- | ---- |
| 5️⃣ | ✅ 正確 |
| 6️⃣ | ✅ 正確 |
| 7️⃣ | ❌ 錯誤 |
* 正確數量 = 2️⃣+4️⃣之前正確選項 + 5️⃣+6️⃣ = 4 個
* ✅ 答案：4 個正確

如果你願意，我可以幫你畫一個 〈a(22/7)n〉 mod 6 循環對照表，把 α、β、h 這些位置一眼就看出來，比純文字還直觀。

你想要我畫嗎？

== References ==
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